Введение в формальную логику

метки: Выражение, Предложение, Логический, Умозаключение, Объект, Предикат, Число, Свойство

О. И. Невдобенко¹

Учебное пособие

Странная штука — логика. Когда она есть, она никому нафиг не нужна. Но когда ее нет, все вдруг лихорадочно начинают ее искать.. (из Интернета)

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

Глава 1

Предмет и основные понятия логики

Основные понятия, которые необходимо усвоить: рассуждение умозаключение структура умозаключения структура (форма) языкового выражения параметры выражения истинностное значение высказывание заведомо логически некорректное умозаключение контрпример к схеме умозаключения критерий правильности умозаключения закон логики

Определения и примеры

Логику определим так: это наука о правильных – или слабее, допустимых – способах рассуждения.

В литературе можно встретить другие, более широкие, определения логики. Вот несколько примеров.

Логика – это нормативная наука о формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, осуществляемой с помощью языка. [Бочаров, Маркин 1994]

Логика – наука, изучающая с формальной точки зрения понятия, методы их определения и преобразования, суждения о них и структуры доказательных рассуждений [Непейвода 1997], где понятие характеризуется как языковая единица, имеющая достаточно четко определенный смысл.

Ключевой компонент всякого рассуждения – шаг вывода, выражаемый в русском языке, например, выражениями «следовательно», «поэтому», «таким образом» и синонимичными им. Без шага вывода текст – произнесенный, написанный или помысленный — будет чем угодно, только не рассуждением.

Рассуждение – процедура пошагового обоснования некоторого высказывания путем пошагового его выведения из других высказываний. [Бочаров, Маркин 1994]

Умозаключение – рассуждение, в котором шаг вывода делается один раз.

Вместо шага вывода говорят также о непосредственном переходе от посылок к заключению.

В структуре умозаключения существенны следующие 3 компонента:

• посылки (=гипотезы, допущения, предположения) – высказывания, предшествующие шагу вывода, истинность которых допускается, принимается или доказана;
• шаг вывода;
• заключение (=вывод).

Пример То, чего ты не терял, ты имеешь; ты не терял рогов, стало быть ты имеешь рога.

С точки зрения важнейших составляющих это умозаключение, придуманное в Древней Греции и даже имеющее название («Рогатый»), имеет вид:

две посылки – шаг вывода – заключение.

«То, чего ты не терял, ты имеешь» – посылка

» Ты не терял рогов» — посылка

«стало быть»- шаг вывода

«Ты имеешь рога» – заключение

Упражнения

1. Следующие выражения разбейте на 3 группы:

(1) – синонимичные выражения, которые вводят посылки в рассуждение;

(2) – синонимичные выражения, которые вводят заключение, т.е. являются шагом вывода;

(3) – выражения, не относящиеся к двум предыдущим группам (некоторые выражения попадут в две группы – в силу многозначности выражений естественного языка).

• так как
• так-так-так…
• поскольку
• поэтому
• тогда
• потому что
• следовательно
• таким образом
• как так
• ввиду того, что
• стало быть
• как следствие того, что

2. В приведённой цитате найдите 3 умозаключения и представьте их стандартным образом:

посылки (= допущения, гипотезы);

шаг вывода;

заключение (вывод)

«– Специфика дурака проявляется не в типе поведения, а в типе мышления. Дурак начинает с того, что собака домашнее животное и лает, и приходит к заключению, что коты тоже лают потому, что коты домашние… Или что афиняне смертны, все обитатели Пирея смертны, следовательно, все обитатели Пирея афиняне.

– Что верно.

– По чистой случайности. Дурак способен прийти к правильному умозаключению, но ошибочным путём.

– А что, лучше приходить к ошибке, но рационально?

– Ещё бы, а иначе зачем было делаться с таким трудом рациональными животными?

– Люди являются крупными человекообразными обезьянами, поскольку человекообразные обезьяны произошли от низших форм жизни, и люди происходят от низших форм жизни.

– Для начала неплохо. Вы уже почти уверены, что есть какой-то логический сбой, но, конечно, вам надо ещё поработать, чтобы понять, где… Дураки коварны. ….

– Я же говорю, что дурака идентифицировать трудно. Дурак свободно может взять Нобелевку.

–…мы ещё не дошли до сумасшедших.

– Сейчас дойдём. Сумасшедших опознать нетрудно. Это дураки, но без свойственных дуракам навыков и приёмов. Дурак умеет доказывать свои тезисы, у него есть логика, кособокая, но логика. Сумасшедшего же логика не интересует, по принципу бузины в огороде любой тезис подтверждает все остальные, зато имеется идея фикс, и всё, что попадает под руку, идёт в дело для её проталкивания. Сумасшедшие узнаются по удивительной свободе от доказательств и по внезапным озарениям». (У. Эко «Маятник Фуко», гл. 10)

* Друзья! Отслеживайте, не находите ли вы в себе признаков сумасшествия «по Эко». Те, кто обнаружит таковые в себе и чистосердечно признается, получит «автомат» по логике…J

Пояснения, определения и примеры

Среди простейших – с одним шагом вывода – неправильных рассуждений есть такие, которые не нужно тестировать специальными логическими средствами на правильность: они обладают неким свойством, которое сразу делает их логически неприемлемыми. Свойство это следующее.

Умозаключение заведомо логически неправильно, е.т.е.² в нем все посылки истинны, а заключение – ложно.

Таким образом, логически неприемлемая ситуация для простейшего рассуждения: в нем все посылки истинны, а заключение – ложно.

Справедливо сказать так: то, что данная ситуация (все посылки истинны, а заключение ложно) логически неприемлема, объявляется, постулируется. Некоторые студенты спрашивают: «А почему это плохо?» Предполагается, что ответ на этот вопрос должен дать здравый смысл: если в качестве предположений мы взяли только истинные высказывания и из них вывели ложь, значит, мы дошли до ручки, такой переход не должен быть правильным, приемлемым, в таком случае из информации посылок не должна следовать информация заключения.³

Пример заведомо неправильного умозаключения

(1-ая посылка) Мадрид – столица Испании. (истина)

(2-ая посылка) Население Мадрида больше миллиона. (истина)

Следовательно,

(вывод) население столицы Испании меньше миллиона. (ложь)

Если для вас очевидно, что никакого «следовательно» в этом примере быть не должно, это нормально, а если неочевидно, то это ненормально.

В то же время, следующее умозаключение уже не является заведомо логически некорректным: «Москва – столица России. Население Москвы меньше миллиона. Следовательно, население столицы России меньше миллиона». Это рассуждение логически правильно⁴. В нем действительно кое-что плохо: среди посылок попалась ложная (вторая), но – запомните! – ложность посылок еще не говорит о том, что рассуждение логически неприемлемо, так же как и ложность заключения сама по себе не говорит о том, что в рассуждении плохо с логикой (может быть, мы просто набрали ложных посылок).

Упражнения

3. Какие из следующих рассуждений заведомо логически некорректны (неправильны)?

(а) Все люди умеют летать, и ни одна птица не умеет.

Все пингвины – люди, а бабочки – птицы.

Следовательно, все пингвины умеют летать, а бабочки – нет.

(b) Некоторые люди знают английский и не знают французский.

Некоторые люди – студенты.

Значит, некоторые из студентов знают английский, но не знают французский.

(с) Если сегодня четверг, значит завтра пятница.

Если сегодня пятница, то завтра суббота.

Если сегодня воскресенье, значит завтра понедельник.

Следовательно, если завтра вторник, то позавчера была пятница.

(d) Если сегодня четверг, значит завтра пятница.

Если сегодня пятница, то завтра четверг.

Если сегодня воскресенье, значит завтра понедельник.

Следовательно, если завтра вторник, то позавчера была пятница.

Пояснения и определения

В каких терминах определять, является умозаключение правильным или нет? Какие понятия следует использовать, чтобы определить, что в данном рассуждении плохо с логикой (т.е. из информации посылок не следует информация заключения)?

К таким понятиям относятся следующие:

— истинностное значение высказывания (не путать с истинным!);

— структура языкового фрагмента. (Подробнее об этом см. вводную лекцию.)

Терминология истинностное значение (высказывания) = логическое значение (высказывания) = оценка (высказывания)

Контрпример к некоторой схеме (структуре) умозаключения S – это конкретное умозаключение, которое выполняет два условия:

(а) его структура есть схема S;

(б) оно заведомо логически неправильно.

Умозаключение логически некорректно, е.т.е. для его структуры существует контрпример.

Умозаключение логически корректно, е.т.е. для его структуры не существует контрпримера.

Терминология Договоримся о следующих характеризациях: рассуждения  (логически) правильные — неправильные (логически) корректные – некорректные (логически) приемлемые – неприемлемые предложения  истинные – ложные

Упражнения

4. Имея в виду последний абзац цитаты из упражнения 2, как можно сформулировать разницу между дураком и сумасшедшим, используя понятие структуры рассуждения?

5. Какие из ниже приведенных умозаключений являются контрпримером для указанной схемы умозаключения?

a. Схема:

Если верно А, то также верно В. (имеет место) В.

Следовательно, имеет место А.

Умозаключения:

1. Если число 4 – четное, то оно делится на 6. Число 4 делится на 6. Значит, оно четное.

2. Если у меня грипп, значит я болен. Я болен. Следовательно, у меня грипп.

NB! Для этого рассуждения примите, что:

(а) данный человек («я» умозаключения) действительно болен,

(б) он не болен гриппом.

3. Если сейчас апрель, значит сейчас – весна.

Сейчас весна.

Следовательно, сейчас апрель.

NB! Данное умозаключение будет или не будет контрпримером к указанной схеме умозаключения в зависимости от того, в каком месяце оно произносится.

4. Если сейчас апрель, значит сейчас – весна.

Сейчас апрель.

Следовательно, сейчас весна.

b. Схема:

Если верно А, то также верно В. А — ложно (не имеет место).

Следовательно, В тоже ложно.

Умозаключения:

1. Если ректор МГУ является президентом РФ, то его зарплата превышает 100 руб. Ректор МГУ не президент РФ. Следовательно, его зарплата не превышает 100 руб.

2. Если сейчас апрель, значит сейчас весна. Сейчас не апрель. Значит, сейчас не весна.

3. Если сейчас весна, значит сейчас апрель. Сейчас не весна. Следовательно, сейчас не апрель.

4. Если Пал Палыч не сдрейфит, то сдаст логику. П.П. не сдал логику. Значит, он сдрейфил.

6. Какую структуру имеет данное высказывание:

1. [ТВС] Если ребёнка не видно и не слышно, значит, он готовит какой-нибудь сюрприз своим родителям.

Варианты ответа:

1. Если неверно, что А и В, то С.

2. Если неверно, что А, и неверно, что В, то неверно, что С.
3. Если неверно, что А, и неверно, что В, то имеет место С.

2. [ТВС]Слишком лёгкая победа, как и победа случайная, вызывает скорее разочарование, чем радость.

Варианты ответа:

1. А и В, если и только если С.

2. Если А или В, то С.
3. Если А и В, то С.

3. Если преподаватель по английскому поставил десять «автоматов», то по логике – ни одного.

Варианты ответа:

1. Если имеет место А, то также имеет место В.
2. (верно) А и (верно) В.
3. (верно) А или (верно) В.

4. [ТВС] Если у человека есть склонность к абстрактному мышлению, то он способен хорошо освоить логику, а если такой склонности у него нет, то хорошо освоить логику такой человек не способен.

Варианты ответа:

1. Если А, то В, и если не А, то не В.

2. Если А, то А, и если не В, то неВ.
3. Если А, то В, и если не В, то не А.

5. Сократ – философ.

Варианты ответа:

1. Объект а обладает свойствами P и Q.

2. Объекты а и b обладают свойством P.
3. Объект а обладает свойством P.

6. Сократ – лучший философ for ever.

Варианты ответа:

1. Объект а обладает свойствами P и Q.

2. Объект а обладает свойством P и для любого другого объекта х верно, что если и он обладает свойством Р, то объект а находится в отношении Q с (этим произвольным) объектом х.

в) Объект а обладает свойством P и для некоторого объекта х верно, что если и он обладает свойством Р, то то объект а находится в отношении Q с (этим) объектом х.

г) Объект а обладает свойством Р, а объект b обладает свойством Q.

7. Неверно ни то, что 23, ни то, что 34.

Варианты ответа:

1. Неверно, что объект а находится в отношении R с объектом b, ни то, что объект а находится в этом отношении с объектом с. (неверно, что aRb, и неверно, что aRc).

2. Неверно, что объект а находится в отношении R с объектом b, а также то, что объект b находится в этом отношении с объектом с. (Неверно, что aRb, и неверно, что bRc).
3. Неверно, что объект а находится в отношении R с объектом b, ни то, что объект b находится в этом отношении с объектом a. (Неверно, что aRb, и неверно, что bRa).

8. Эсмеральда не любила Квазимодо, но тот ее любил.

Варианты ответа:

1. Объект а находится в отношении R с объектом b, но объект b не находится в отношении R с объектом а. (aRb и неверно, что bRa)

2. Объекты a и b находятся в отношениях P и Q. (aPb и aQb).
3. Объект а не находится в отношении R с объектом b, но объект b находится в отношении R с объектом а. (Неверно, что aRb, и верно, что bRa)
4. Неверно, что aRb, но верно, что bРa.

9. 1=1, и 2>0, и 1>0.

Варианты ответа:

а) аQb, и bRc, и aRc

b) dRd, и aRc, и dRc

c) аQb, и bRc, и aQc

d) dQd, и bRa, и dRa

e) dRd, и aQc, и dRc

10. Волга длиннее всякой европейской реки.

Варианты ответа:

1. Для любого объекта х верно, что если он обладает свойством Р, то объект а находится с ним в отношении R (R(a,x)).

2. Объект а находится в отношении R со всеми объектами.

в) По меньшей мере для некоторых объектов х верно, что если он обладает свойством Р, то объект а находится с ним в отношении R (R(a,x)).

г) Объекты а и b находятся в отношении R.

д) Объект а обладает свойствами R и Р.

* Между прочим, почему утверждение «Волга длиннее всякой европейской реки» ложно?

(11) Я тебе напишу или позвоню, разве что буду занят по горло.

1. Если А или В, то С.
2. Если А или В, то не С (неверно, что С ).
3. Если не С, то А или В.
4. Если не А или не В, то не С.
5. Если не А или не В, то С.

7. Какую структуру имеет данное рассуждение:

(1) Если долго мучиться, что-нибудь получится. Мы мучились долго. Следовательно, у нас что-то получилось.

Варианты ответа:

1. Если А, то В. Имеет место В. Следовательно, имеет место А.

2. Если А, то В. Имеет место А. Следовательно, имеет место В.
3. Если А, то А. Имеет место А. Следовательно, имеет место В.

(2) [Ст] Если Джон ляжет сегодня поздно, он будет утром в отупении. Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться, что не стоит жить. Следовательно, или Джон будет завтра в отупении, или ему будет казаться, что не стоит жить.

Варианты ответа:

1. Если А, то В. Если не В, то С. Следовательно, либо А, либо С.

2. Если В, то А. Если не А, то С. Следовательно, либо А, либо С.
3. Если А, то В. Если не А, то С. Следовательно, либо В, либо С.
4. Если А, то В. Если не А, то D. Следовательно, либо А, либо D.

8. Найти контрпримеры к следующим схемам рассуждения:

а) Если А, то В. Значит, если В, то А.

б) Если А, то В. Если А, то С. Следовательно, если В, то С.

в) Если А и В, то С. А ложно и В ложно. Следовательно, С тоже ложно.

г) Если А или В, тогда С, D и Е. Но С, D и Е – истинны. Значит, А – истинно, и В тоже.

9. Перечисленные предложения разбить на группы по принципу одинаковой структуры.

1. 1 Винни-Пух идет в гости, если рассчитывает, что там его угостят медом, а Пятачок, если рассчитывает на выпивку.

2. 2 Если у тебя высокий IQ, то ты сдашь логику с первого раза, а если ты не сдашь логику с первого раза, значит у тебя IQ невысокий.

3. 3 Москва больше Праги.

4. 4 Наступил октябрь, и у меня депрессия.

5. 5 Опыт всегда хорош, если обошелся недорого.

6. 6 Хотели как лучше, а получилось как всегда.

7. 7 Если ты не любишь А.С.Пушкина, ты мне не друг, если не уважаешь Ж.Дантеса – не враг, а Карфаген должен быть разрушен.

8. 8 Если данное число делится на 4, то оно делится на 2, и если данное число делится на 12, то оно делится на 3.

9. 9 Любишь кататься, люби и саночки возить.

10. 10 Любишь кататься, люби и саночки возить, а если не любишь возить саночки, так и не катайся.

11. 11 Если ты мне не поможешь, я провалю и латынь, и древнегреческий.

12. 12 Сегодня холодно и морозно.

13. 13 Если некто не угощает гостей медом, то Винни-Пух не пойдет к нему в гости, и если кто-то не пьет, то к нему не затащишь Пятачка, но Кролик в любом случае пойдет.

14. (14) 2 строго меньше 3.

15. 15 Москва больше Праги, а Карфаген должен быть разрушен.

16. 16 Если на прошлой неделе я выиграл большую сумму, то на этой только 100 руб.

17. 17 Если выпить из бутылочки с надписью «яд», то рано или поздно почувствуешь легкое недомогание. (Л.Кэррол)

18. 18 На следующей неделе я побываю Риме и Неаполе, разве что случится что-то непредвиденное.

10. Что вам подсказывает интуиция: следующие предложения

(а) истинны или ложны;

(б) они истинны/ложны в силу фактов или только в силу своей структуры (структура предложения такова, что она может породить только истинные предложения (или только ложные))?

1. Москва – столица России или Португалии.
2. Если верно, что Москва – столица Португалии, тогда верно, что она столица Португалии или России.
3. Сегодня четверг, в том и только в том случае если сегодня не четверг.
4. ⁺ Есть такой человек, что если он дурак, то и я дурак.
5. Есть такой человек, что если он – негр, то все – негры.
6. Если есть человек, который любит всех, то для всякого человека найдется такой, который его любит.
7. Если для всякого человека найдется такой, который его любит, то есть человек, который любит всех.
8. Все бессмертные люди умеют летать.
9. Ни один бессмертный человек не умеет летать.
10. Если самый тупой человек существует и ты его тупее, то тебя не существует.

Глава 2

Логический анализ языка

Основные понятия, которые необходимо усвоить: типы нелогических выражений: имя, функтор, предикат местность (валентность, арность) функторов и предикатов

Пояснения и определения

Логическая правильность рассуждения определяется его структурой, поэтому для того чтобы понять, является ли данное рассуждение логически корректным, необходимо (хотя, конечно, недостаточно) сначала выявить его логическую форму и уже затем проверять последнюю на логическую приемлемость. Отсюда необходимость определения структурной информации. Вопрос в том, как ее определять. Общий ход действий таков: логическая информация оставляется, нелогическая заменяется параметрами (параметризуется).

Для ответа на этот вопрос надо уметь отличать логическую информацию от нелогической, и тогда выражения из первой группы сохранять при определении логической формы. Далее, сама нелогическая информация неоднородна, выражения языка разбиваются на различные классы по типу обозначаемых ими сущностей и для разных типов выражений вводят разные типы параметров (разные типы символов), так чтобы по виду параметра уже кое-что было известно о выражении, на которое его заменили.

Здесь мы не будем сколько-нибудь подробно обсуждать, какого рода выражения и на каких основаниях следует относить к логическим. Основная идея отнесения выражения к группе логических состоит в том, что выражения, относящиеся к структуре, могут использоваться в любой области исследования, при описании любых объектов и ситуаций. К таким относятся, например, выражения неверно, что, и, или, если – то, эквивалентно, все, некоторые, необходимо, возможно, вероятно, разрешено, запрещено.

В качестве логической информации, т.е. выражений, относящихся к структуре какого-либо текстового фрагмента, в логических теориях, изучаемых в этом пособии, рассматриваются следующие:

(1)

группа связок, работающих на высказываниях (пропозициональные связки)

отрицание (не, неверно, что)

и

или

если – то

эквивалентно (если и только если, тогда и только тогда)

(2)

выражения количества – кванторы

все

некоторые

(3)

а также неразличение объектов в данном контексте – равенство

Подробная характеристика этих выражений и соответствующих им логических операций дается в следующих главах.

Существуют различные способы разбиения разнообразия нелогической информации на различные классы. Здесь будет изложен наиболее распространенный в настоящее время способ (и, кстати, отличный от использованного Аристотелем).

С точки зрения этого метода типологии смыслов и значений языковых выражений существуют два принципиально разных типа нелогических⁵выражений:

(1) те, которые обладают самостоятельным смыслом, «завершенные» выражения, — их тоже в свою очередь два вида:

(1а) предложения– с логической точки зрения важно, что это выражения, с которыми связываются (как минимум) два объекта –истинаиложь, илиистинноиложно; только предложения осмысленно оценить как истинные или как ложные;

(1b) выражения, обозначающие ровно один объект –логические имена;

(2) «незавершенные» выражения, которые не обладают самостоятельным смыслом, но с их помощью можно строить предложения и новые логические имена (т.е. задавать новые объекты).

Незавершенные выражения разделяются на 2 типа:

(2а) те, с помощью которых мы получаем новые имена, они называются функторы;

(2b) те, с помощью которых мы строим предложения, такие выражения называютсяпредикаты.

Таким образом, с точки зрения логики предикатов каждое нелогическое выражение относится к одному из четырех типов, оно

либо логическое имя (=задает ровно один объект),

либо предложение,

либо функтор,

либо предикат.

Местность (валентность, арность) функтора– количество имен, которое нужно к нему присоединить, чтобы получить логическое имя.

Местность (валентность, арность) предиката– количество имен, которое нужно к нему присоединить, чтобы получить предложение.

Таким образом, общая «формула» такова:

n- местный функтор +n(логических) имен = (логическое) имя n-местный предикат +n(логических) имен = предложение

Что касается функторов и предикатов, то приводимые примеры покажут, что смысл и этих понятий не так туманен, как может показаться на первый взгляд.

Примеры логических имен

Земля(планета)

второй президент США— логическое имя (данное выражение задает ровно один объект).

2 (натуральное число 2)

Примеры функторов

(1) (операция извлечения квадратного корня) – (одноместный) функтор.

Покажем, что (…) действительно функтор.

Во-первых, использование операции извлечения квадратного корня, означает, что в распоряжении имеется некоторое множество чисел (скажем, действительных или комплексных) и эта операция не является ни логическим именем (т.е. в данном случае именем какого-либо числа из области рассмотрения), ни предложением. Посмотрим, сможемли мы, присоединяя к выражениюлогическое имя (или логические имена) получить новое логическое имя или предложение.

4 — логическое имя.

4 – логическое имя (это выражение задает ровно один объект, число 2).

Таким образом, присоединив к выражению (одно) имя, на выходе мы получили имя. Это и показывает, что- одноместный функтор.

Присоединение к выражению более одного числа бессмысленно: операция извлечения квадратного корня сопоставляет число ровно одному числу.

(2) (…):(…) (операция деления) – двухместный функтор: присоединяем к нему два имени объектов и на выходе получаем имя объекта. Например, так:

8 – логическое имя,

4 – логическое имя,

8:4 – логическое имя (это выражение задает ровно один объект), таким образом, имеем:

«:» + 2 логических имени = логическое имя.

Примеры предикатов

(1) Философ– одноместный предикат.

Раз данное выражение одноместный предикат, значит можно, присоединив к нему ровно одно имя объекта, получить истинное или ложное утверждение. Например, так.

Возьмем логическое имя: «основатель дисциплины психологии». Соединяем это выражение с выражением «философ», получаем предложение (нечто истинное или ложное): «Основатель дисциплины «психология» – философ». (Кстати, кто?)

Внимание! Неверноотнести выражение «философ» к логическим именам, т.к. это выражение не задает ровно одного человека, оно задаетклассобъектов.

(2) предикат «=» – двухместный (чторавночему).

Действительно, выражение «…=…» бессмысленно оценивать как истинное или как ложное, то же относится к выражению «4=…». Заполнив второй пропуск, получим предложение, например, «4=5» (неважно в данном случае, что оно ложно; нужно было показать, что «=» – двухместный предикат, и это мы сделали.)

(3) севернее– двухместный предикат:чтосевернеечего?

(4) севернее Москвы– одноместный предикат:что? севернее Москвы. Нужно к данному выражению присоединить ровно одно имя объекта, чтобы получить предложение (в данном случаеневажно– истинное или ложное): «Петербургсевернее Москвы», «Архангельсксевернее Москвы», «Киевсевернее Москвы».

Упражнения

1.В данном курсе логики понятие высказывания ýже, чем в языкознании. Высказываниями для изучаемых логических теорий будут только повествовательные предложения, которые осмысленно оценить как истинные или как ложные. Какие из следующих языковых выражений являются высказываниями с этой точки зрения?

x1 x+y x+y=2 2+3 2+3=x 2+3=100 x, <0,1>,<1,2>,…}. Но множества могут быть и одноэлементными. В таком случае для выражений, задающих один объект, имеется два способа их трактовки: либо как логическое имя (как и было определено выше), либо как предикат (который задает одноэлементное множество.) Например, выражение основатель буддизма можно понимать как определяющее ровно одно человека и, значит, логическое имя, либо как выражение, задающее свойство – «быть основателем буддизма», в последнем случае ему соответствует множество, состоящее из одного элемента {Будда Гаутама}. В предложении «Основатель буддизма знал язык пали» основатель буддизма естественно трактовать как логическое имя, а в «Гаутама Шакьямуни – основатель буддизма» можно трактовать как одноместный предикат.6

3.Тренировочное упражнение. Сверьте свои варианты с ответами!

Рассмотрите предложенные языковые выражения и установите, к какому типу нелогических терминов они относятся:

— логическое имя (нульместный функтор);

— n –местный функтор (n1);

— высказывание (нульместный предикат);

— n–местный предикат (n1).

В этом упражнении выражения, задающие ровно один объект относите к логическим именам (см. замечание выше в рамке).

Российская Федерация 3√ психолог старше х3-у х+(у2+5) х3 3х+у 3х+5+у 3х+5+х 3х+5+у=0 3х+5+у=х 3х+5+у=z Уравнение 3х+5+у=0 имеет решение в натуральных числах. Для любого целого х верно, х-у=0 Для любого целого х верно, х+10=0

Есть такое натуральное число х, для которого верно х-(у+z)=0 х+10=0 х+х=10 знать лучше, чем матрос медведь родственник родственник М.И.Кутузова здание здание, в котором расположен механико-математический факультет МГУ столичный город столица Италии Италия учиться в одном вузе школа школа № 25 г.Москвы

4. Рассмотрите предложенные языковые выражения и установите, к какому типу нелогических терминов они относятся (заполните таблицу).

В этом упражнении выражения, задающие ровно один объект относите к логическим именам (см. замечание выше в рамке).

функтор			предикат
логическое имя = нульместный функтор	одноместный	двухместный	нульместный (предложение)	одноместный	двух- местный	трёх местный	мест ность  3

1. первый президент США
2. нынешний ректор МГУ им. Ломоносова
3. (…+…) (операция сложения)
4. (…+1) (операция прибавления единицы)
5. (…)³ (операция возведения в куб)
6. древнегреческий философ, основатель логики и психологии
7. расстояние от … до …
8. лектор
9. возраст
10. роман «Гарри Поттер и философский камень»
11. экземпляр романа «Гарри Поттер и философский камень»
12. роман, написанный Л.Н. Толстым
13. естественный спутник Земли
14. беспозвоночный
15. бестселлер
16. выше
17. человек, который выше В.В.Путина
18. умный
19. умнее
20. находиться севернее
21. любить сильнее, чем
22. расположенный между
23. расположенный между Москвой и Санкт-Петербургом
24. сражаться с (кем-то) против (кого-то)
25. сражаться с кем-то против Наполеона
26. сражаться с М.Кутузовым против Наполеона
27. А.Македонский сражается с …
28. мышка
29. мышка-нарушка, героиня русского народного эпоса «Теремок»
30. существительное
31. двухместный предикат
32. трехместный предикат
33. одноместный предикат
34. логическое имя
35. Скрудж МакДак
36. Скрудж МакДак не любит благотворительность.
37. не любить благотворительность
38. вуз
39. В Москве больше вузов, чем в Лондоне.
40. МГУ им. М.В.Ломоносова
41. научная дисциплина
42. знать (кого-то)
43. знать (кого-то), как самого себя
44. х+у+z=10 +x²
45. x 7^x+y
46. Для любых чисел действительных х и у верно, что x 7^x+y.
47. Для любого действительного числа х верно, что x+z 7^x+y.
48. целое число
49. уравнение, не имеющее решений в целых числах
50. знать историю Франции, лучше чем историю (…)
51. знать (что-то) лучше (чего-то)
52. тормоз, не любящий логику
53. команда, выигравшая Кубок кубков в 2007г.
54. комар

5. Проанализируйте нелогическую информацию в составе данных предложений и заполните таблицу. В каждом предложении должен быть хотя бы один предикат (нет предиката – нет предложения!), логические имена и функторы могут отсутствовать.

1. Некоторые студенты умнее ворон. (1-ое предложение разобрано ниже в таблице.)

2. Некоторые студенты глупы, некоторые сообразительны.
3. Москва расположена восточнее как Варшавы, так и Бухареста.
4. Население Польши больше населения Люксембурга.
5. Любое натуральное число, кратное 6, также кратно 3.
6. Ни одно государство, расположенное в южном полушарии, не больше Китая.
7. Как все нормальные люди, я знаю английский лучше, чем эсперанто, но хуже чем хеттский и древнеегипетский.
8. Столица Великобритании древнее столицы Австралии.
9. 5³-7⁴√6

№ предложения	логическое имя (нульместный функтор)	функтор (местность 0)		предикат
		одноместный	двухместный	одноместный	двух- местный	трёхместный
1-ое предложение				студент ворона	умнее

Ответы

Гл.1 Упр.10 (г) Истинно в силу структуры.

Гл.2 Упр.3

1. логическое имя
2. одноместный функтор
3. одноместный предикат (говорим, кто психолог, и получаем либо истину, либо ложь, т.е.предложение)
4. двухместный предикат (кто старше кого, — уточняем и получаем предложение)
5. двухместный функтор
6. двухместный функтор
7. одноместный функтор
8. двухместный функтор
9. двухместный функтор
10. одноместный функтор
11. двухместный предикат
12. двухместный предикат
13. трехместный предикат
14. предложение (нульместный предикат)
15. одноместный предикат (одно место для подстановки – у; х запрещен для подстановок выражением «для любого х»)
16. предложение (раз ложь, значит предложение)
17. двухместный предикат
18. одноместный предикат
19. одноместный предикат (один параметр — х)
20. трехместный предикат (кто знает кого лучше, чем кого, — три места для подстановки, заполняя которые получаем предложение)
21. одноместный предикат (если вы отнесли это выражение к категории логических имен, это означает, что с вашей точки зрения в мире существует ровно один матрос)
22. одноместный предикат (если вы отнесли это выражение к категории логических имен, это означает, что с вашей точки зрения в мире существует ровно один медведь)
23. двухместный предикат
24. одноместный предикат
25. одноместный предикат
26. логическое имя
27. одноместный предикат
28. логическое имя
29. логическое имя
30. двухместный предикат (кто учится в одном вузе с кем)
31. одноместный предикат
32. логическое имя

1Несколько заданий набрано совместно с Т.В.Сальниковой, рядом с ними стоит [ТВС], одно – из книги Р.Столл «Множества. Логика. Аксиоматические теории» М., 1968, это задание помечено [Ст].

2читается «если и только если»

3Если для вас все равно осталось непостижимым, почему рассуждения такого типа объявляются логически неправильными, развивайте соображение: делайте тесты на проверкуIQ, изучайте философию Канта и Спинозы, квантовую физику, грамматику различных языков и т.д.

4То, что оно правильно, разумеется, следует обосновать; здесь вы принимаете это на веру (пока) или доверяетесь своей интуиции (если она вам говорит, что в данном случае из информации посылок следует информация заключения).

5Не путать с «нелогичным», это, конечно, совершенно другое.

6Ср. «Нужно строго различать х и {х}. Первое выражение обозначает сам элемент, а второе – множество, заключающее этот элемент. Разница между ними примерно такая же, как между шимпанзе и шимпанзе, посаженным в клетку в зоопарке: {х} скорее похож на такую клетку, чем на ее обитателя » (Н.Н.Непейвода Прикладная логика. – Ижевск.1997, стр.94)