20
Традиционная и альтернативные системы обучения математике младших школьников.
- Краткий обзор систем обучения.
- Содержание обязательного минимума образования по математике в начальной школе.
- Распределение по годам обучения программного материала по математике в альтернативных системах.
В методических публикациях последнего двадцатилетия часто встречаются слова «традиционная система», «альтернативная система» обучения. Эти названия легко понимаются педагогами, работавшими в школе в 1980—1990 гг., но они не всегда понятны сегодняшним студентам и молодым учителям. Поясним происхождение и смысл этих названий.
В Советском Союзе была принята жесткая цензура школьных учебников. Учителям разрешалось работать только по тем учебникам, которые были утверждены и рекомендованы Министерством образования. По каждому предмету для начальной школы Министерством образования утверждался только один учебник. В 1968 г. был объявлен конкурс на написание учебника по математике для начальной школы. Из всех предложенных учебников был выбран и утвержден в качестве единого учебник, написанный авторским коллективом под руководством М.А. Бантовой и М.И. Моро. Этот учебник, в дальнейшем незначительно перерабатываясь, выдержал более 20 изданий, его стали называть традиционным. Долгие годы он был единственным для обучения математике в начальной школе.
Подобная политика позволяла создать единое образовательное пространство на всей территории бывшего Советского Союза, учились по одному и тому же учебнику и по единому учебному плану. С одной стороны, это было удобно, поскольку не возникало проблем в связи с переездами и сменой школы. Но, с другой стороны, эта система приводила к жесткой унификации образовательного процесса, при которой учитель был ориентирован главным образом на достижение каждым ребенком определенного уровня учебных норм и требований. Сегодня эту ориентацию называют «знаниевой парадигмой».
После развала Советского Союза стали публиковаться учебники других авторов, эти учебники стали называть «альтернативными». Некоторые из них были написаны еще в 70-е годы XX в. (учебники системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова.), другие изданы в 90-е годы (учебники Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон, учебники Н.Б. Истоминой.).
Применение игровых технологий в методике обучения фонетике на начальном этапе
... принято считать возраст детей примерно от 7 до 10-11 лет, что соответствует годам их обучения в начальных классах. Это возраст относительно спокойного и равномерного физического развития. Поступление ... ” развития ребенка, а отталкиваясь от естественных перспектив его психического развития, выстраивая всю систему обучения и, в том числе и контроля, с целью дальнейшего развития общих и ...
А.М. Пышкало отмечает, что традиционный курс математики для начальных классов характеризуется определенной последовательностью изучаемых базисных понятий:
Число — Величина Основное внимание в нем сосредоточено на выработке навыков устных и письменных вычислений и на их применении к решению текстовых задач.
Та же последовательность изучаемых понятий характерна и для ряда альтернативных курсов (учебники системы Л.В. Занкова, учебники П.М. Эрдниева, Н.Б. Истоминой. И др.авторов).
Однако основная направленность методики обучения математики в этих системах другая: ее цель — интеллектуальное развитие ребенка. Как отмечает Н.Б. Истомина, несмотря на то, что в принципе любое обучение развивает ребенка, но при сравнении различных систем обучения очевидно, что в одних системах обучение как бы надстраивается над развитием (по словам Л.С. Выготского, «плетется в хвосте развития», оказывая на него стихийное влияние), а в других — целенаправленно обеспечивает его, «ведет за собой развитие» и активно использует его для усвоения новых понятий, знаний и умений. В первом случае мы имеем приоритет информационной функции обучения, его нацеленность на «отработку» знаний, умений и навыков, во втором — приоритет развивающей функции обучения, и это кардинально меняет построение процесса обучения.
В 70-е годы XX в. альтернативными назывались системы, в которых был принят другой порядок изучения математических понятий:
в системе В.В. Давыдова
величина —> отношение -> число
в учебниках К.И. Нешкова, А.М. Пышкало, В.Н. Рудницкой множество —» отношение —» число —> величина
в учебниках Н.Я. Виленкина, Л.Г. Петерсон
величина —
множество- отношение —> число
Сегодня альтернативным называют любой новый учебник по отношению к традиционному. Иногда в литературе можно встретить утверждение, что традиционным учебник Бантовой и Моро назван потому, что он не имеет развивающей направленности. Однако с методических позиций очевидно, что развивающая направленность урока более зависит от методики работы учителя и способов организации деятельности ребенка с содержанием учебника, чем от самого содержания. Многолетний опыт апробации различных альтернативных учебников показал, что для получения развивающего эффекта недостаточно просто использовать в работе учителя новый учебник. Необходимо владеть методикой математического развития ребенка, чтобы реализовать развивающую функцию математического содержания учебника.
На сегодняшний день процесс написания новых вариантов учебников математики для начальной и основной школы продолжается, и, видимо, будет продолжаться, что является естественным методическим поиском и говорит о развитии методической науки. Для учителя важно научиться анализировать появляющиеся варианты учебников, понимать их содержательные и методические отличия, их соответствие обязательному минимуму образования. Проведение такого предварительного анализа необходимо для прогнозирования результатов обучения и хода обучающего процесса.
Два принципа исследования инноваций в системе образования и обучение ...
... начальную, среднюю школу, профтехобразование, высшее образование, аспирантуру и производственно-консалтинговый инкубатор. Образовательный процесс в исправительных учреждениях проводится по очно-заочной форме обучения, в его основе новейшие ... вновь адаптироваться к нормальным условиям жизни и найти свое место вобщественной структуре. Однако многие из отбывших срок идут на преступление именно из-за ...
Можно пропустить!
2. Содержание обязательного минимума образования по математике в начальной школе
На сегодняшний день по заданию Национального фонда подготовки кадров разработан проект «Требований к уровню подготовки выпускников» и «Обязательного минимума содержания образовательных программ» начального, основного и полного среднего образования. Эти документы являются основой создания государственных образовательных стандартов общего среднего образования.
«Требования к уровню подготовки выпускников» являются основным элементом образовательных стандартов. Они устанавливают уровень подготовки выпускников, реально достижимый, по мнению авторского коллектива, в практике массового обучения и обеспечивающий права и возможности обучающихся на получение полноценного и качественного общего образования.
«Обязательный минимум содержания образовательных программ» задает перечень дидактических единиц содержания образования, которые подлежат обязательному изучению в начальной, основной и полной средней школе.
В документе отмечается, что «при отборе содержания образования авторы проекта прежде всего следовали традиции, повинуясь императивному лозунгу «не навреди!». Тем не менее содержание обучения в проекте было подвергнуто определенной модернизации, отвечающей стратегическим направлениям развития отечественной системы образования».
«Главным направлением модернизации стало восстановление педагогически и психологически обоснованной структуры содержания образования, позволяющей преодолеть узко «знаниевую» парадигму, реализуемую в сегодняшней школе. С этой целью осуществлена достаточно серьезная разгрузка обязательного содержания путем исключения вопросов, не имеющих общеобразовательного значения, и переноса сложного технического материала в профильное обучение. Тем самым создаются условия для повышения качества образования за счет высвобождения учебного времени для отработки учебных и практических умений, освоения опыта эмоциональной и творческой деятельности».
Отметим, что ни сам документ, ни сопутствующие ему публикации не содержат конкретной ссылки или представления упомянутой педагогической и психологической теории обоснования структуры содержания образования. Таким образом, представленное в основном государственном документе обоснование построения структуры содержания образования, носит действительно чисто , императивный характер на уровне «здравого смысла». Общеизвестно, что никакой единой теории обоснования структуры содержания ни в педагогической, ни в психологической науке на сегодня не существует. Можно сказать, что «принципиальная особенность и трудность педагогической практики, которая существовала всегда и остается в силе до сегодняшнего дня, состоит в том, что объективные законы психического развития, на которые она могла бы опереться, до сих пор еще не известны. Педагогическая практика все еще в основном базируется, как медицина античности и средних веков, на интуитивных прозрениях, искусстве и эмпирическом опыте ее выдающихся представителей». Там же далее отмечается, что «пока знаний было не так много, можно было как-то выходить из положения за счет эмпирического нащупывания лучших способов их подачи или просто за счет увеличения времени, которое идет на усвоение». Именно это в свое время привело к очередной замене трехлетнего начального образования на четырехлетнее в начале 1990-х годов. «Но когда объем знаний возрастает, оба эти источника все больше теряют свою значимость». Поэтому, несмотря на сохранение четырехлетнего срока обучения в начальной школе, авторы рассматриваемого проекта вынуждены были пойти по пути «разгрузки обязательного содержания», что особенно сказалось на содержании математического образования.
Обучение чтению на начальном этапе обучения
... преподавателям, так и родителям учащихся. Следовательно, тема «Обучение чтению на начальном этапе обучения» крайне актуальна сегодня, когда система образования претерпевает разнообразные преобразования направленные на оптимизацию системы ... некоторых дошкольных заведениях даже изучается алфавит. Но для того что бы научиться читать, как на родном, так и на иностранном языке необходима помощь ...
В цитируемой монографии доктора психологических наук, профессора РАО Н.И. Чуприковой в связи с этим резюмируется необходимость и крайняя значимость разработки именно психологических теорий обоснования как структуры содержания, так и технологий обучения для различных возрастных категорий обучаемых. В рассматриваемом же документе ссылка на эту несуществующую теорию является главным обоснованием (наряду с признанием в следовании традициям) построения структуры и перечня дидактических единиц содержания образования. Приводим содержание документа:
МАТЕМАТИКА
Требования к уровню подготовки выпускников
Изучение математики должно предоставить учащимся возможность:
— получить представление о натуральном числе и нуле, понять особенности натурального ряда чисел, научиться записывать и прочитывать натуральные числа в десятичной системе счисления;
— научиться выполнять устно и письменно вычисления с натуральными числами (в пределах миллиона): сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком;
— получить представление о свойствах операций над натуральными числами, взаимосвязи между операциями; научиться находить неизвестный компонент арифметического действия;
— усвоить смысл отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в» и их связь с арифметическими действиями; изображать на схемах отношения и использовать их при решении текстовых задач;
— усвоить правила порядка выполнения действий в числовых выражениях, научиться записывать решение текстовой задачи в виде выражения и по действиям; научиться составлять простые описания последовательности (алгоритм) действий;
— осознать геометрические формы как образы предметов окружающего мира; познакомиться с плоскими геометрическими фигурами (точка, прямая и кривая линии, отрезок, угол, многоугольник, окружность, круг), простейшими пространственными фигурами (куб, шар) и некоторыми их свойствами; научиться изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге;
— получить представление о величинах (длине, площади, массе, времени) и их измерении; усвоить единицы величин и соотношения между ними; научиться складывать и вычитать величины, умножать и делить величину на число;
Индивидуальный подход к учащимся в процессе обучения сложению ...
... В процессе обучения математике младших школьников большое внимание уделяется вычислительным приемам сложения и вычитания чисел первой сотни: устным и письменным. Эти приемы изучаются во втором ... формы осуществления индивидуального подхода к учащимся 2 класса при изучении вычислительных приемов сложения и вычитания первой сотни. Задачи работы: ·Проанализировать психолого-педагогическую литературу по ...
— приобрести опыт измерения и вычисления длин отрезков и периметров многоугольников, научиться строить отрезок заданной длины, вычислять площадь прямоугольника;
— получить представление о зависимостях между величинами, характеризующими процессы движения, работы, «купли продажи».; научиться решать несложные текстовые задачи, используя знания об этих зависимостях;
— получить представление о высказывании, научиться строить логические рассуждения, выполнять мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, классификацию.).
Обязательный минимум содержания образования
Счет. Единицы счета. Натуральные числа от 1 до 1 000 000. Число и цифра нуль. Запись и названия чисел. Сравнение чисел. Знаки —, >, <.
Сложение чисел: слагаемые, сумма, знак сложения. Таблица сложения. Вычитание чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность, знак вычитания. Связь вычитания со сложением. Умножение чисел: множители, произведение, знак умножения. Таблица умножения. Деление чисел: делимое, делитель, частное, знаки деления. Связь деления с умножением. Действия с нулем.
Порядок выполнения действий в числовых выражениях. Скобки.
Перестановка слагаемых в сумме. Группировка множителей в произведении. Умножение суммы на число. Умножение числа на сумму.
Устные и письменные вычисления с натуральными числами.
Нахождение неизвестного компонента арифметических действий.
Точка. Линии: прямые, кривые. Отрезок. Угол. Прямой угол. Многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат. Вершины и стороны многоугольника. Окружность и круг. Куб. Шар.
Измерение длин. Метр, сантиметр, миллиметр, километр.
Измерение площади. Квадратный сантиметр, квадратный метр. Вычисление площади прямоугольника.
Измерение времени. Секунда. Минута. Час. Сутки. Неделя. Месяц. Год. Век.
Измерение массы. Грамм, килограмм, тонна. Литр.
Решение текстовых задач с использованием отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в» и зависимостей между величинами.
Анализ текста цитируемого документа показывает действительное значительное сокращение привычного даже для традиционных учебников математики для начальных классов содержания. Например, даже не упоминаются темы «Уравнения» и «Дроби». Поскольку данный перечень будет являться основой для разработки государственных стандартов, это означает, что задания, связанные с решением уравнений, нахождением долей и дробей чисел и величин, могут считаться лишь дополнительными при составлении контрольных срезов знаний. Упомянуты лишь несложные текстовые задачи, что можно трактовать как то, что в обязательный минимум входят лишь простые задачи.
Любой из существующих ныне учебников математики для начальной школы, содержит намного более длинный перечень дидактических единиц по математике. Однако в случае принятия данного проекта в качестве действующей нормы, это даст возможность учителю опускать значительную часть материала учебников или давать ее как необязательную.
Возможности использования непроизвольной памяти младших школьников ...
... Исследовать современные методические подходы к формированию вычислительного навыка табличного сложения и вычитания однозначных чисел с позиции возможностей использования непроизвольной памяти младших школьников; 3. ... сложения и вычитания стояла перед учителями всегда, поэтому она актуальна и сейчас. Незнание детьми таблицы затрудняет дальнейшее обучение вычислительным приемам других видов, умножению ...
В случае принятия этого документа в качестве нормативного возникает проблема очередной разработки новых учебников по математике для 5—6 классов, поскольку сегодняшние учебники (включая написанные за последнее пятилетие) рассчитаны на значительно больший объем знаний выпускников начальной школы, чем это оговорено рассматриваемым документом.
3. Распределение по годам обучения программного материала по математике в альтернативных системах
Рассмотрим распределение программного материала по годам обучения в пяти системах обучения для начальных классов, рекомендованных Министерством образования и науки РФ для обучения в 12-летней школе (четыре года обучения в начальной школе).
Распределение программного материала по математике в системе Л. В. Занкова
В системе Л.В. Занкова для четырехлетней системы обучения использовались учебники И.И. Аргинской для трехлетней школы. Учитель самостоятельно распределял материал на более длительный срок обучения детей. Дополнительно к этим учебникам имеются тетради на печатной основе авторов Е.П. Бененсон и Л.С. Итиной.
Для четырехлетней начальной школы на сегодня существует комплект «учебник—тетрадь» для 1 класса вместо учебника -четыре тетради на печатной основе тех же авторов. Для 2 и 3 классов — учебник авторов И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской и для 4 класса разрабатывается учебник этих же авторов (Самара, 2001).
Приведем ориентировочное программное распределение тем в этих пособиях, составленное на основе анализа этих учебников, сборника «Программы для начальных классов 1—3 по системе Л.В. Занкова» (М., 1998) и статьи И.И. Аргинской «Математика в системе общего развития» (Начальная школа: плюс — минус. 2000, № 4).
1 Класс
Сравнение множеств. Взаимно-однозначное соответствие элементов. Знаки сравнения. Число как характеристика класса эквивалентных множеств. Число и цифра. Сравнение чисел.
Нумерация в пределах 100. Разрядный состав. Сложение и вычитание в пределах 10 и в пределах 20 (с переходом через десяток).
Правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. Переместительное и сочетательное свойства сложения.
Числовые равенства и неравенства. Верные и неверные равенства.
Уравнения (в том числе вида х + 3 — 12, 17 — х = 9).
Правила взаимосвязи компонентов сложения и вычитания.
Точка. Отрезок. Прямая, ломаная, кривая. Замкнутые и незамкнутые кривые и ломаные. Луч. Углы (прямой, тупой, острый).
Их буквенное обозначение. Длина отрезка. Сумма и разность отрезков. Многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб. Треугольники равносторонние, разносторонние, равнобедренные.
Меры длины: сантиметр (см).
Знакомство с задачей в 1 классе не предполагается.
Обыкновенные дроби в пятом классе
... следующим образом: выделяя «динамическую функциональную структуру личности», он не вводит способности в число основных подструктур личности. По его мнению, способности надо рассматривать как основные качества ...
(Составлено по содержанию учебника-тетради — в 4 ч. Самара, 1999.)
2. Класс
Нумерация в пределах 100. Сложение и вычитание в пределах 100. Умножение и деление. Таблицы умножения и деления в пределах 100. Особые случаи умножения и деления (с 0 и 1).
Все случаи порядка выполнения действий (в выражениях без скобок с действиями одной и разных ступеней, со скобками и действиями всех видов).
Уравнения с умножением и делением. Взаимосвязь компонентов действий умножения и деления. Деление с остатком.
Трехзначные числа.
Уравнения вида (а + Ь)+х=с + еи др. Неравенства вида а + х>Ь,х-а<Ь. Системы простых неравенств.
Длина отрезка. Длина ломаной. Многоугольники. Четырехугольники, прямоугольники. Периметр многоугольника. Прямоугольные и равнобедренные треугольники. Ромб.
Объемные тела: призма, пирамида, конус, цилиндр, шар. Основание, ребро, грань, вершина многогранника.
Масса: килограмм (кг).
Сложение и вычитание масс.
Емкость: литр (л).
Время и его единицы измерения: сутки, неделя, год. Час и минута. Часы. Календарь.
Меры длины: сантиметр (см), метр (м), дециметр (дм), миллиметр (мм).
Умножение и деление величин на натуральное число.
Знакомство с задачей. Простые и составные задачи на все действия.
3. Класс
Нумерация в пределах 1000.
Вычисления в пределах 1000: сложение и вычитание трехзначных чисел.
Разряды и классы: многозначные числа.
Внетабличное умножение и деление. Умножение и деление многозначных чисел на однозначное число.
Выражения с большим количеством действий и скобок. Неравенства вида х — 4 > 6, х: 2 < 10. Системы простых неравенств.
Римская нумерация.
Уравнения (в том числе вида (31 + х ) — 18 = 23).
Дроби: сравнение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Приведение к общему знаменателю. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Смешанные числа. Неправильные дроби.
Числовой луч. Координаты точки на числовом луче. Координаты целых и дробных чисел.
Углы и их градусная мера. Сложение и вычитание углов. Окружность, дуга и радиус окружности. Свойство диаметра. Изображения объемных тел на плоскости. Проекции объемных тел. Развертки многогранников. Проекции многогранников.
Площадь прямоугольника. Меры площади: см2, мм2, км2, дм2, м2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Длина: километр (км), миллиметр (мм).
Масштаб.
Масса: тонна (т), центнер (ц).
Простые и составные задачи на все действия.
4 Класс
Нумерация многозначных чисел: разряды и классы. Действия с многозначными числами. Выражения с большим количеством действий и скобок.
Класс миллионов.
Точные и приближенные числа. Правило округления. Погрешность измерений.
Дроби: основное свойство дроби. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями. Умножение и деление дроби на натуральное число.
Сложение и вычитание в пределах 10 в специальной (коррекционной) школе VIII вида
... свойства ряда натуральных чисел и состава чисел. Задачи исследования: 1.Проанализировать современное состояние проблемы формирования навыка сложения и вычитания в пределах 10 в специальной коррекционной ... детей в процессе освоения ими навыками сложения и вычитания в пределах 10, выраженные в таких аспектах как пересчет, пересчитывание числа по 1, умении определять основные ...
Положительные и отрицательные числа: запись, изображение на числовой прямой, сравнение. Координаты точки на числовой прямой.
Действия с именованными числами, содержащие несколько действий (3— 6 действий).
Уравнения и неравенства разной степени трудности (в том числе с дробями, содержащих неизвестное в обеих частях.).
Степень: возведение в степень, основание степени, показатель степени. Таблицы степеней некоторых чисел.
Диагонали многоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника. Классификации треугольников (по углам, по сторонам).
Площадь прямоугольного треугольника Площадь многоугольника. Площадь поверхности прямой призмы и пирамиды.
Объемные тела: проекции, развертки, изображения на плоскости. Объем параллелепипеда.
Меры объема: мм3, см3, км3, дм3. Объем произвольной прямой призмы.
Составные задачи всех видов. Алгебраический способ решения задач (составление уравнения).
Составлено по содержанию учебников авторов И.И. Аргинской, Е.И. Ивановской (Самара, 2001).
Распределение программного материала по математике в системе В. В. Давыдова
В системе В.В. Давыдова существует несколько вариантов учебников математики для начальных классов различных авторских коллективов: учебники А.М. Захаровой, Т.И. Фещенко; учебники В.В. Давыдова, С.Ф. Горбова, Г.Г. Микулиной, О.В. Савельевой. Все эти комплекты учебников были разработаны для системы 1—3, в настоящее время идет работа по реорганизации этих учебников для системы 1—4. Наиболее распространен на сегодня учебник Э.И. Александровой, он включен в Федеральный перечень учебников для начальной школы.
Приведем программное распределение тем в пособиях Э.И. Александровой, составленное на основе анализа учебников, сборника «Программы для начальной общеобразовательной школы. Система Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова» (М., 2001) и статьи Э.И. Александровой «Особенности нового курса математики в начальной школе» (Начальная школа: плюс — минус, 2000, № 4).
1. Класс
Сравнение предметов (по форме, цвету, материалу, длине, составу частей, массе, площади, объему. Периметр как длина «границы» любой плоской геометрической фигуры. Различия между прямой, лучом, отрезком. Ломаная. Угол. Сравнение углов.
Сравнение величин. Буквенное обозначение величин. Знаки сравнения. Сравнение величин при помощи меры-посредника. Переход от действий с предметами к формулам и наоборот. Сложение и вычитание величин как переход от неравенства к равенству и наоборот. Знаки + и -. Текстовые задачи с буквенными данными. Скобки в буквенных выражениях. Переместительное и сочетательное свойство сложения в буквенном виде. Выражения. Таблица сложения и вычитания однозначных чисел.
Личностно-ориентированный подход как важное условие эффективности ...
... Подчеркивается необходимость отработать и ввести гибкую систему профилей обучения в старшей школе, в том числе путем кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, ... работы) 3.3.Апробация экспериментальной модели влияния личностно-ориентированного подхода на эффективность процесса обучения (формирующий этап) 3.4. Обобщение результатов опытно-экспериментальной работы Заключение Список ...
Различные меры при измерении одной величины. Стандартные меры величин (длина, площадь, объем, масса, угловой градус).
Время, скорость, стоимость. Число как мера величины.
Римская нумерация.
Число как отношение величины к мере (функциональная зависимость).
Числовая прямая: начало отсчета, единичная мерка. Сравнение чисел на числовой прямой. Состав чисел первого десятка. Сравнение чисел. Решение примеров, уравнений и задач с заменой буквенных данных на числовые (в пределах 20).
Связь между компонентами сложения и вычитания. Порядок действий в выражениях. Уравнения вида: а + х= Ь, а-х= Ь, Ъ-х= а,
2. Класс
Простые и составные мерки. Меточная форма числа. Числовая прямая. Числовые шкалы.
Сложение и вычитание чисел с помощью числовых шкал. Решение различных задач с заменой числовых данных на буквенные, порядок действий. Сложение и вычитание с переходом через десяток.
Многозначные числа. Разряд и класс. Позиционные системы счисления. Чтение и запись чисел в различных системах счисления.
Разрядный состав многозначных чисел. Изображение многозначных чисел на числовой прямой. Сравнение многозначных чисел. Действия с многозначными числами (кроме деления).
Решение текстовых задач с многозначными числами.
3. Класс
Умножение и деление. Компоненты умножения и деления и их взаимосвязь. Переместительное, сочетательное и распределительное свойство умножения. Таблица умножения и деления. Умножение на 0 и 1.
Многозначные числа: разряды и классы. Все действия с многозначными числами. Умножение и деление на 10, 100, 1000. Деление с остатком. Признаки делимости. Вычисления с помощью свойств умножения и деления. Умножение и деление многозначных чисел.
Текстовые задачи с многозначными числами. Уравнения на все действия с многозначными числами. Порядок действий.
4. Класс
Письменные алгоритмы вычислений с многозначными числами.
Микрокалькулятор. Проверка действий с различными числами с помощью микрокалькулятора.
Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение на число, деление на число.
Решение и составление текстовых задач, уравнений и математических выражений с десятичными дробями. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Проценты: запись в десятичных дробях. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам. Оптовые и розничные цены, скидки, денежные вклады под проценты. Решение задач с сюжетами, связанными с реалиями жизни.
Именованные числа. Меры длины, массы, объема, площади. Деньги.
Время: век, год, час, мин, с. Действия с именованными числами.
Меры измерения углов: градус, мин, с, радиан. Число я. Транспортир.
Периметры различных фигур и способы их вычисления: прямоугольник, треугольник, трапеция. Длина окружности.
Площади геометрических фигур: прямоугольник, прямоугольный треугольник. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике. Площадь произвольного треугольника.
Нахождение площади любых геометрических фигур путем разбиения их на прямоугольники и треугольники. Площадь правильного га-угольника. Площадь круга. Текстовые задачи на нахождение площади и периметра.
Объемы геометрических тел: см3, дм3. Формула объема прямого параллелепипеда.
Задачи всех видов: на движение, на «куплю-продажу», на производительность. Алгебраический способ решения задач (уравнение).
Распределение программного материала по математике в системе «Школа 2100»
В системе «Школа 2100» автором учебника математики является Л.Г. Петерсон. Разработан и выпущен учебно-методический комплект в виде «учебник—тетрадь» на печатной основе для 1—3 (1—4) классов начальной школы. Комплект представляет собой 12 тетрадей вида «учебник—тетрадь», которые могут быть распределены как на 3, так и на 4 года обучения. Программное распределение тем по годам обучения приводим по сборнику «Школа 2000»: Концепция и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы (М., 1997).
1. Класс
Свойства предметов. Сложение и вычитание. Счет. Число и цифра.
Однозначные и двузначные числа. Нумерация в пределах 100. Разрядный состав.
Табличное сложение и вычитание (в пределах 10).
Компоненты сложения и вычитания и их взаимосвязь. Сложение и вычитание в пределах 100 без перехода через разряд. Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через десяток.
Точки и линии. Граница. Ломаная. Многоугольник.
Задача. Простые задачи на сложение и вычитание. Обратные задачи. Составные задачи на сложение и вычитание.
Величины и их измерение (длина, масса, объем): см, дм, кг, л.
Уравнения. Решение уравнений вида 90 — х — 20, 48 — х = 32 и т. п.
2. Класс
Письменное сложение и вычитание. Сложение и вычитание в пределах 100 с переходом через разряд. Сочетательное свойство сложения.
Нумерация в пределах 1000. Сложение и вычитание трехзначных чисел.
Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная. Длина ломаной. Периметр. Плоскость. Угол. Прямой угол. Острый и тупой угол. Прямоугольник. Квадрат. Площадь фигуры. Единицы площади. Площадь прямоугольника. Окружность и круг.
Объем фигуры. Единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Умножение и деление. Случаи умножения и деления с 0 и 1. Таблицы умножения и деления. Взаимосвязь компонентов умножения и деления. Умножение и деление на 10 и 100. Внетабличное умножение и деление. Деление с остатком.
Числовые и буквенные выражения. Уравнения вида: а-х=-Ь,а:х=Ь,х:а = Ь.
Скобки. Порядок действий в выражениях без скобок и со скобками.
Составные задачи на все действия.
3. Класс
Множество и его элементы: число элементов, обозначение, знак принадлежности, подмножество, пересечение и объединение множеств.
Многозначные числа: нумерация, сложение, вычитание.
Умножение и деление круглых чисел. Умножение и деление на однозначное число. Умножение на двузначное число. Умножение на трехзначное число.
Задачи на все действия. Задачи на движение, на «куплю-продажу», на работу и производительность. Формулы прямой и обратной пропорциональности.
Симметрия фигур.
Меры времени. Календарь.
Переменная. Высказывание. Равенство и неравенство. Уравнение.
4. Класс
Множество решений неравенства. Строгие и нестрогие неравенства. Двойное неравенство.
Приближенные вычисления. Оценка суммы, разности, произведения, частного.
Деление на двузначное и трехзначное число.
Дроби. Сравнение дробей, нахождение числа по его дроби и дроби от числа. Проценты. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам. Сложение и вычитание дробей. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Выделение целой части из неправильной дроби и запись смешанного числа в виде неправильной дроби. Сложение и вычитание смешанных чисел. Задачи на части, задачи на проценты.
Площадь прямоугольного треугольника. Единицы площади: ар, гектар.
Шкалы. Числовой луч. Координаты на луче. Расстояние между точками координатного луча. Координатный угол.
Действия над составными именованными числами.
Градусная мера углов. Развернутый угол. Смежные и вертикальные углы.
Круговые и столбчатые диаграммы. Графики движений.
Многозначные числа: разряд и класс. Сложение и вычитание многозначных чисел. Умножение и деление на двузначное и трехзначное число.
Градусная мера углов. Виды углов. Виды треугольников в зависимости от величины углов или длин сторон. Построение треугольников по трем элементам (двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам).
Построение прямоугольника с линейкой и транспортиром.
Многогранник: вершины, ребра, грани. Куб. Прямоугольный параллелепипед. Развертки многогранников. Объем куба: кубический сантиметр и кубический метр.
Координатный угол. Простейшие графики. Диаграммы. Таблицы.
Выражения с одной, двумя и тремя переменными и их значения.
Высказывание и его значение (истина, ложь).
Составные высказывания (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация).
Таблицы истинности высказываний. Логические возможности. Отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности.
Точные и приближенные значения величины. Измерения с заданной точностью. Округление. Погрешность.
Масштаб. План и карта.
Решение арифметических задач в 3—4 действия.
Сопоставительный анализ всех пяти программ с программой традиционной школы показывает, что объем изучения нумерации и арифметических действий в них единый. Разница только в распределении тем по годам обучения. Программы Л.В. Занкова и «Гармония» не рассматривают задачу в 1 классе, но итоговый уровень сложности рассматриваемых в них задач (в 4 классе) одинаков.
Все альтернативные программы содержат значительно больший объем геометрического материала, чем традиционный учебник, при этом значимым отличием является работа с объемными телами и инструментами для построения фигур на плоскости (циркуль, угольник, транспортир).
Программы И.И. Аргинской и Э.И. Александровой содержат значительный по объему материал работы с дробями: первая — с обыкновенными, вторая — с десятичными, в том числе с процентами.
Программы Л.Г. Петерсон и В.Н. Рудницкой отличаются наибольшим уровнем насыщения курса математики начальной школы алгебраическим материалом и дробями (в том числе и процентами).
Программа Л.Г. Петерсон также знакомит учеников начальных классов с элементами теории множеств, а программа В.Н. Рудницкой — с элементами формальной логики.
Программа и учебные пособия Н.Б. Истоминой являются наименее загруженными дополнительным к традиционному объему материалом и в целом наиболее близки к проекту нормативного документа, рассмотренного в данной лекции.
Очевидно, что для работы по упомянутым программам учитель начальных классов должен обладать достаточно глубокими знаниями математики, а также быть знакомым с тем, как нетрадиционное для начальной школы содержание (сложные уравнения, дроби, проценты, элементы теории множеств и логики.) рассматриваются в методике обучения математике в средней школе, чтобы учитывать требования преемственности обучения.
Возникает также закономерный вопрос: каков главный инструмент реализации развивающей функции обучения математике в той или иной альтернативной программе? Ответ на него не является однозначным: в системе Л.В. Занкова во главу угла ставится необходимость соблюдать дидактические принципы организации развивающего обучения и опора на систему проблемных ситуаций на уроке. В программах Л.Г. Петерсон, В.Н. Рудницкой и Э.И. Александровой основной «вес» развивающего потенциала связан с усложнением арифметической (системы счисления и дроби), алгебраической (уравнения) и формально-логической (элементы теории множеств и логики) линий содержательного наполнения программ. Это обусловлено значимым влиянием на эти системы взглядов В. В. Давыдова на ведущую роль теоретического мышления в развитии ребенка младшего школьного возраста. В программе Н.Б. Истоминой основная роль «двигателя развития» ребенка в процессе обучения математике отводится построению методической системы целенаправленного формирования приемов умственных действий (сравнения, обобщения, классификации, аналогии.).
Такой подход позволяет без особых содержательных изменений традиционного объема в обучении математике младших школьников нацелить обучающий процесс на развитие таких способов познания ребенка (упомянутые приемы умственных действий определяют процесс познания индивида), которые становятся достоянием субъекта, характеризуя его интеллектуальный потенциал и познавательные способности.
Таким образом, налицо «ситуация неопределенности»: с одной стороны, методика обучения математике младших школьников -это наука, ориентированная на достижение конкретных целей. Предмет ее исследования — отбор и упорядочивание математического содержания (чему учить?), предназначенного для изучения детьми, а также организация совместной деятельности учителя и учащихся (как обучать?). С другой стороны, общий взгляд на цель развивающего обучения (зачем обучать?) сформировался в недрах дидактики и психологии обучения и сформулирован в терминах более психологических, чем методических: цель развивающего обучения — личностное развитие ребенка. Таким образом, результаты этого процесса должны, по идее, оцениваться в логике психологической науки — по линии развития психической деятельности и в аспекте индивидуально-психологических особенностей детей. Вот здесь и возникает то противоречие, которого не было, пока учебный процесс был ориентирован на «знаниевую парадигму», когда ответ на вопрос «зачем учить?» имел простой и понятный учителю (а также всем тем, кто должен был осуществлять контроль этого процесса) ответ: «чтобы знали!». Сегодня такой ответ не может быть принят в качестве главного в соответствии с установкой на развивающее обучение, но с другой стороны -его нельзя и отвергнуть, поскольку существует понятие «стандарт обучения», в отношении которого установка совершенно однозначна: дети должны знать все, что обозначено в стандарте. Однако нигде при этом не доказано, что:
во-первых, то, что обозначенные в стандарте знания и умения обеспечат каждому ребенку необходимые (по целевой установке развивающего обучения) психологические новообразования (т. е. положительные сдвиги в его индивидуальном психологическом развитии);
во-вторых, возникает вопрос: какому контролю отдать приоритет — контролю качества знаний или психологическому тестированию ученика при осуществлении мониторинга учебного процесса?
в-третьих, психологический мониторинг совершенно не сочетается с балльной системой контроля знаний, он требует совершенно иных критериев и специализированных знаний при его проведении, не говоря уже о спорности выбора направлений этого мониторинга (различные школы предлагают для анализа различные психологические новообразования школьников);
в-четвертых, сам термин «оптимальное общее развитие школьников» (Л.В. Занков) является весьма неопределенным) поскольку развитие каждого ребенка является процессом индивидуализированным, присущим только этому индивиду, а также весьма неравномерным, поскольку очень зависит от «внутренней среды» (физиологии, психофизиологии, физического и эмоционального состояния ребенка.).
В этой связи, представляется разумным выделить какое-то одно направление «общего развития», в частности, предметно связанное с математикой как таковой, и поставить целью обучения развитие ребенка преимущественно в этом направлении. В этом случае представляется возможным концентрировать внимание на тех сторонах психического развития ребенка, которые являются базовыми составляющими математического развития. Кроме того, становится обоснованным процесс усвоения математических знаний, поскольку совершенно невозможно доказать, например, необходимость знания наизусть таблицы сложения с точки зрения общего развития ребенка, но эта необходимость очевидна с точки зрения математического развития. Таким образом, выбор математического развития в качестве цели математического образования младших школьников позволяет по-новому взглянуть как на построение его психолого-дидактического обоснования, так и на отбор содержания и выбор методов обучения.