Курсовая работа по математике
Однофакторный дисперсионный анализ
Содержание
Введение
Понятие дисперсионного анализа
Однофакторный дисперсионный анализ
Однофакторный дисперсионный анализ (Практическая реализация в IBM SPSS Statistics 20)
Однофакторный дисперсионный анализ (Практическая реализация в Microsoft Office 2013)
Сравнение IBM SPSS Statistics 20 и Microsoft Office 2013
Заключение
Список использованных источников
Введение
Актуальность темы. Развитие математической статистики начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса в 1795 году и до сих пор развивается. В статистическом анализе существует параметрический метод «Однофакторный дисперсионный анализ». В настоящее время его используют в экономике при проведении исследования рынка для сопоставимости результатов (например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга, в психологии при проведении различного рода исследований), при составлении научных тестов сравнения, или исследовании каких-либо социальных групп, ну и для решении задач по статистике.
Цель работы. Познакомится с таким статистическим методом, как однофакторный дисперсионный анализ, а так же с реализацией его на ПК в различных программах и выполнить сравнение этих программ.
Задачи:
Изучить теорию однофакторного дисперсионного анализа.
Изучить программы для решения задач на однофакторный анализ.
Провести сравнительный анализ данных программ.
Достижения работы: Практическая часть работы полностью проделана автором: подбор программ, подбор задач, их решение на ПК, после проведен сравнительный анализ. В теоритической части проведена классификация групп дисперсионного анализа. Данная работа была апробирована в качестве доклада на студенческой научной сессии «Избранные вопросы высшей математики и методики преподавании математики»
Структура и объём работы. Работа состоит из введения, заключения, содержания и списка литературы, включающего 4 наименования. Полный объём работы — 25 страниц печатного текста. Работа содержит 1 пример решенный 2 программами.
Понятие дисперсионного анализа
Часто возникает необходимость исследовать влияние одной или нескольких независимых переменных (факторов) на одну или несколько зависимых переменных (результативных признаков), подобные задачи можно решать методами дисперсионного анализа, автором которого является Р. Фишер.
Анализ работы службы приема и размещения и пути совершенствования ...
... соответствии с поставленной целью в настоящей работе решаются следующие задачи: ? провести анализ рынка гостиничных услуг; ? охарактеризовать службе приема и размещения гостиницы; ? ... расчеты за проживание в гостинице и дополнительные услуги. Главной целью дипломной работы является рассмотрение и изучение взаимоотношений персонала гостиничного предприятия с клиентами. В ...
Дисперсионный анализ ANOVA — совокупность статистических методов обработки данных, позволяющих анализировать изменчивость одного или нескольких результативных признаков под влиянием контролируемых факторов (независимых переменных) [1, с. 24]. Здесь под фактором понимается некоторая величина, определяющая свойства исследуемого объекта или системы, т.е. причина, влияющая на конечный результат. При проведении дисперсионного анализа важно правильно выбрать источник и объект влияния, т.е. определить зависимые и независимые переменные.
В зависимости от признаков классификации различают несколько классификационных групп дисперсионного анализа (табл. 1).
Таблица 1
Категории дисперсионного анализа
|
По количеству учитываемых факторов: |
Однофакторный анализ — исследуется влияние одного фактора; |
Многофакторный анализ — изучается одновременное воздействие двух или более факторов. |
|
|
По наличию связи между выборками значений: |
Анализ несвязанных (различных) выборок — проводится, когда имеется несколько групп объектов исследования, находящихся в разных условиях. (Проверяется нулевая гипотеза H0: среднее значение зависимой переменной одинаково в разных условиях замера, т.е. не зависит от исследуемого фактора.); |
Анализ связанных (одних и тех же) выборок — проводится для двух и более замеров, проведенных на одной и той же группе исследуемых объектов в разных условиях. Здесь возможно влияние неучтенного фактора, которое можно ошибочно приписать изменению условий. |
|
|
По количеству зависимых переменных, подверженных воздействию факторов. |
Одномерный анализ (АNOVA или АМСОVА — ковариационный анализ) — воздействию факторов подвержена одна зависимая переменная; |
Многомерный анализ (МАNОVА — многомерный дисперсионный анализ или МАNСОVА — многомерный ковариационный анализ) — воздействию факторов подвержено несколько зависимых переменных. |
|
|
По цели исследования. |
Детерминированные — уровни всех факторов заранее фиксированы и проверяется именно их влияние (проверяется гипотеза H0 об отсутствии различий между средними уровнями); |
Случайные — уровни каждого фактора получены как случайная выборка из генеральной совокупности уровней фактора (проверяется гипотеза Н0 о том, что дисперсия средних значений отклика, вычисленная для различных уровней фактора, не отлична от нуля); |
|
В однофакторном дисперсионном анализе проводится проверка статистической значимости различий выборочных средних двух или более совокупностей для этого предварительно формируются гипотезы.
Нулевая гипотеза H0: средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора (или градациях фактора) одинаковы
Альтернативная гипотеза H1: средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора различны.
Методы дисперсионного анализа могут применяться для нормально распределенных совокупностей (многомерные аналоги параметрических тестов) и для совокупностей, не имеющих определенных распределений (многомерные аналоги непараметрических тестов).
В первом случае необходимо предварительно установить, что распределение результативного признака является нормальным. Для проверки нормальности распределения признака можно использовать показатели асимметрии A =, , и эксцесса E =, , где , . — значение результативного признака и его среднее значение; — среднеквадратическое отклонение результативного признака; [2, с. 24].
— число наблюдений;
— ошибки репрезентативности для показателей A и E
Если показатели асимметрии и эксцесса не превышают более чем в 3 раза свои ошибки репрезентативности, т.е. А <3тА и Е <3тЕ, то распределение можно считать нормальным. Для нормальных распределений показатели А и Е равны нулю.
Данные, относящиеся к одному условию действия фактора (к одной градации), называют дисперсионным комплексом. При проведении дисперсионного анализа должно соблюдаться равенство дисперсий между комплексами. При этом выбор элементов должен осуществляться случайным образом.
Во втором случае, когда выборочные совокупности имеют произвольные распределения, используются непараметрические (ранговые) аналоги однофакторного дисперсионного анализа (критерии Крускала — Уоллиса, Фридмана).
Рассмотрим графическую иллюстрацию зависимости ставки доходности акций от положения дел в экономике страны (рис. 1, а).
Здесь исследуемым фактором является уровень состояния экономики (точнее, три уровня ее состояния), а результативным признаком — ставка доходности. Приведенное распределение показывает, что данный фактор оказывает существенное влияние на доходность, т.е. с улучшением дел в экономике растет и доходность акций, что не противоречит здравому смыслу.
Заметим, что выбранный фактор имеет градации, т.е. его величина изменялась при переходе от одной градации к другой (от одного состояния экономики к другому).
Рис. 1. Соотношение влияние фактора и внутригруппового разброса: а-существенное влияние фактора; б — незначимое влияние фактора
Группа градаций фактора является лишь частным случаем, кроме того, фактор может иметь градации, представленные даже в номинальной шкале. Потому чаще говорят не о градациях фактора, а о различных условиях его действия.
Рассмотрим теперь идею дисперсионного анализа, в основе которой лежит правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:
— общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов
— межгрупповая дисперсия, обусловленная влиянием всех прочих факторов;
— средняя внутригрупповая дисперсия, вызванная влиянием группировочного признака.
Влияние группированного признака хорошо видно на рис.1 а, так как влияние фактора существенно по сравнению с внутригрупповым разбросом, следовательно, межгрупповая дисперсия будет больше внутригрупповой ( > ), а на рис. 1, б наблюдается обратная картина: здесь преобладает внутригрупповой разброс и практически отсутствует влияние фактора.
На этом же принципе построен и дисперсионный анализ, только в нем используются не дисперсии, а средние квадратов отклонений (, , ), являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий. Их получают делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы
Совокупности в целом;
Внутригрупповые средние;
Межгрупповые средние;
Общая средняя по всем измерениям (по всем группам);
Групповая средняя для j-й градации фактора.
Математические ожидания соответственно для внутригрупповой и межгрупповой суммы квадратов отклонений вычисляются по формулам: (Модеь с фиксированным фактором),
.
Е () = Е () = , то нулевая гипотеза H0 об отсутствии различий между средними подтверждается, следовательно, исследуемый фактор не оказывает существенного влияния (см. рис. 1, б).
Если фактическое значение F-критерия Фишера F= Е () /Е () окажется больше критического то нулевая гипотеза H0 при уровне значимости , отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1, — о существенном воздействии фактора рис. 1, а. [4, с. 24].
Однофакторный дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ, который рассматривает только одну переменную называется однофакторным дисперсионным анализом (One -Way ANOVA).
Имеется группа из п объектов наблюдения с измеренными значениями некоторой исследуемой переменной. На переменную оказывает воздействие некоторый качественный фактор с несколькими уровнями (градациями) воздействия. Измеренные значения переменной при различных уровнях фактора приведены в таблице 2 (они также могут быть представлены в матричном виде).
Таблица 2.
Табличная форма задания исходных данных для однофакторного анализа
|
Номер объекта наблюдения () |
Значения переменной при уровне(градации) фактора |
||||
|
(самый низкий) |
(низкий) |
… |
(самый высокий) |
||
|
1 2 … n |
… |
. |
|||
Здесь каждый уровень может содержать разное количество откликов, измеренных при одном уровне фактора, тогда каждому столбцу будет соответствовать свое значение . Требуется оценить значимость влияния данного фактора на исследуемую переменную. Для решения этой задачи может использоваться однофакторная модель дисперсионного анализа. Однофакторная дисперсионная модель.
— значение исследуемой переменой для -го объекта наблюдения при -м уровне фактора;
— групповая средняя для — го уровня фактора;
— эффект, обусловленный влиянием -го уровня фактора;
— случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов. Итак выделим основные ограничения использования дисперсионного анализа:
Равенство нулю математического ожидания случайной компоненты: = 0.
Дисперсия случайной компоненты постоянна: .
Случайная компонента , а следовательно, и имеют нормальный закон распределения.
Число градаций факторов должно быть не менее трех.
Данная модель в зависимости от уровней фактора с помощью F-критерия Фишера позволяет проверить одну из нулевых гипотез.
При выполнении дисперсионного анализа для связанных выборок возможна проверка еще одной нулевой гипотезы H0{и) — индивидуальные различия между объектами наблюдения выражены не более, чем различия, обусловленные случайными причинами.
Однофакторный дисперсионный анализ
(Практическая реализация в IBM SPSS Statistics 20)
Исследователя интересует вопрос, как изменяется определенный признак в разных условиях действия переменной (фактора).
Изучается действие только одной переменной (фактора) на исследуемый признак. Мы уже рассмотрели пример из экономики теперь приведем пример из психологии например, как изменяется время решения задачи при разных условиях мотивации испытуемых (низкой, средней, высокой мотивации) или при разных способах предъявления задачи (устно, письменно или в виде текста с графиками и иллюстрациями), в разных условиях работы с задачей (в одиночестве, в комнате с преподавателем, в классе).
В первом случае фактором является мотивация, во втором — степень наглядности, в третьем — фактор публичности.
В данном варианте метода влиянию каждой из градаций подвергаются разные выборки испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех.
Пример 1. Три различные группы из шести испытуемых получили списки из десяти слов. Первой группе слова предъявлялись с низкой скоростью -1 слово в 5 секунд, второй группе со средней скоростью — 1 слово в 2 секунды, и третьей группе с большой скоростью — 1 слово в секунду. Было предсказано, что показатели воспроизведения будут зависеть от скорости предъявления слов (табл. 3) [3, с. 23].
Таблица 3
Количество воспроизведенных слов
|
испытуемого |
Группа 1 низкая скорость |
Группа 2 средняя скорость |
Группа 3 высокая скорость |
|
|
1 |
8 |
7 |
4 |
|
|
2 |
7 |
8 |
5 |
|
|
3 |
9 |
5 |
3 |
|
|
4 |
5 |
4 |
6 |
|
|
5 |
6 |
6 |
2 |
|
|
6 |
8 |
7 |
4 |
|
|
суммы |
43 |
37 |
24 |
|
|
среднее |
7,17 |
6,17 |
4,00 |
|
Сформулируем гипотезы
H0: различия в объеме воспроизведения слов между группами являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы
H1: Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.
Решение проведем в среде SPSS по следующему алгоритму
Запустим программу SPSS
Введем числовые значения в окне “данные”
Рис. 1. Ввод значений в SPSS
В окне “Переменные” опишем все исходные данные, согласно условию
Задачи
Рисунок 2 Окно переменные
Для наглядности в графе метка опишем название таблиц
В графе “Значения” опишем номер каждой группы
Рисунок 3 Метки значений
Все это делается для наглядности т.е. этими настройками можно пренебречь
В графе “шкала”, во втором столбце нужно поставить значение номинальная
В окне “данные” закажем однофакторный дисперсионный анализ с помощью меню «Анализ» Сравнение средних
Однофакторный дисперсионный анализ…
Рисунок 4 Функция Однофакторный дисперсионный анализ
В открывшемся диалоговом окне “Однофакторный дисперсионный анализ” выделим зависимую переменную и внесем ее в “список зависимых”, а переменную фактор в окно “фактор”
Рисунок 5 выделение списка зависимых и фактора
Настроим некоторые параметры для качественного выведения данных
Рисунок 6 Параметры для качественного выведения данных
Вычисления по выбранному алгоритму однофакторного дисперсионного анализа начинается после щелчка “ОК”
По окончанию вычислений в окне просмотра выводятся результаты расчета
|
Описательные статистики |
|||||||||
|
Группа |
|||||||||
|
N |
Среднее |
Стд. Отклонение |
Стд. Ошибка |
95% доверительный интервал для среднего |
Минимум |
Максимум |
|||
|
Нижняя граница |
Верхняя граница |
||||||||
|
низкая скорость |
6 |
7,17 |
1,472 |
,601 |
5,62 |
8,71 |
5 |
9 |
|
|
средняя скорость |
6 |
6,17 |
1,472 |
,601 |
4,62 |
7,71 |
4 |
8 |
|
|
высокая скорость |
6 |
4,00 |
1,414 |
,577 |
2,52 |
5,48 |
2 |
6 |
|
|
Итого |
18 |
5,78 |
1,927 |
,454 |
4,82 |
6,74 |
2 |
9 |
|
Таблица 2. Описательные статистики
В таблице Описательные статистики приведены основные показатели по скоростям в группах и их итоговые значения
— количество наблюдений в каждой группе и суммарное
Среднее — среднее арифметическое наблюдений в каждой группе и по всем группам вместе
Стд. Отклонение, Стд. Ошибка — среднее квадратическое отклонение и стандартные отклонения
95% доверительный интервал для среднего — эти интервалы являются наиболее точными для каждой группы [5.62; 8,71] и по всем группам вместе [4,82; 6.74], нежели если взять интервалы ниже или выше этих границ.
Минимум, Максимум — минимальные и максимальные значения для каждой группы, которые услышали испытуемые
однофакторный дисперсионный случайный
|
Критерий однородности дисперсий |
||||
|
группа |
||||
|
Статистика Ливиня |
ст.св.1 |
ст.св.2 |
Знч. |
|
|
,089 |
2 |
15 |
,915 |
|
Критерий однородности Ливиня используется для проверки дисперсий на гомогенность(однородность).
В данном случае он подтверждает незначимость различий между дисперсиями, поскольку значение = 0.915 т.е явно больше 0.05. Поэтому результаты полученные с помощью дисперсионного анализа признаются корректными.
|
Однофакторный дисперсионный анализ |
||||||
|
группа |
||||||
|
Сумма квадратов |
ст.св. |
Средний квадрат |
F |
Знч. |
||
|
Между группами |
31,444 |
2 |
15,722 |
7,447 |
,006 |
|
|
Внутри групп |
31,667 |
15 |
2,111 |
|||
|
Итого |
63,111 |
17 |
||||
В таблице однофакторный дисперсионный анализ приведены результаты Однофакторного ДА
Сумма квадратов «между группами» представляет собой сумму квадратов разностей между общим средним значением и средними значениями в каждой группе с учетом весовых коэффициентов, равных числу объектов в группе
«Внутри групп» представляет собой сумму квадратов разностей среднего значения каждой группы и каждого значения этой группы
Столбец «ст.св.» содержит число степеней свободы V:
Межгрупповое (v=число групп — 1);
Внутригрупповое (v=число объектов — число групп — 1);
«средний квадрат» содержит отношение суммы квадратов к числу степеней свободы.
В столбце «F» приведено отношение среднего квадрата между группами к среднему квадрату внутри групп.
В столбце «знч» содержится значение вероятности того, что наблюдаемые различия случайны
Таблица 4 Формулы
Графики средних
По графику видно, что он убывает. Так же можно определить по таблице Fк k1=2, k2=15 табличное значение статистики равно 3,68. По правилу если , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная гипотеза. Для нашего примера (7.45>3.68), следовательно принимается альтернативная гипотеза. Таким образом возвращаясь к условию задачи можно сделать вывод нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная : различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы ).
Т.о. скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения.
Однофакторный дисперсионный анализ
(Практическая реализация в Microsoft Office 2013)
На этом же примере рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ в Microsoft Office 2013
Решение задачи в Microsoft Excel
1.Откроем Microsoft Excel.
2. Введем данные из задачи для проведения дисперсионного анализа
Рисунок 1. Запись данных в Excel
3.Преобразуем данные в числовой формат. Для этого на вкладке главное есть пункт “Формат” а в нем есть подпункт “Формат ячейки”. На экранe появится окно Формат ячеек. Рис. 2 Выберем Числовой формат и введенные данные преобразуются. Как показано на Рис.3
Рисунок 2 Преобразуем в числовой формат
Рисунок 3 Результат после преобразование
5.На вкладке данные есть пункт “анализ данных” кликнем по нему.
Выберем Однофакторный дисперсионный анализ
Рисунок 6 Анализ данных
6. На экране появится окно Однофакторный дисперсионный анализ для проведения дисперсионного анализа данных (Рис.7).
Произведем настройку параметров
Рис. 7 Настройка параметров для однофакторного анализа
7. Щелкнем мышью в поле Входной интервал. Выделим диапазон ячеек B2::F9, данные в котором нужно проанализировать. В поле Входной интервал группы элементов управления Входные данные, появится указанный диапазон.
8. Если в группе элементов управления Входные данные не установлен переключатель по строкам, то установите его, чтобы программа Ехcel воспринимала группы данных по строкам.
9. Если нужно Установите флажок Метки в первой строке в группе элементов управления Входные данные, если первый столбец выделенного диапазона данных содержит названия строк.
10. В поле ввода Альфа группы элементов управления Входные данные по умолчанию отображается величина 0,05, которая связана с вероятностью возникновения ошибки в дисперсионном анализе.
11. Если в группе элементов управления Параметры вывода не установлен переключатель выходной интервал то установим его либо выберем переключатель новый рабочий лист, чтобы данные были перенесены на новый лист.
12. Нажмем кнопку ОК, чтобы закрыть окно Однофакторный дисперсионный анализ. Появятся результаты дисперсионного анализа (Рис.8).
Рисунок 8 Вывод данных
В диапазоне ячеек А4:Е7 расположены результаты описательной статистики. В строке 4 находятся названия параметров, в строках 5 — 7 — статистические значения, вычисленные по партиям. В столбце «Счет» расположены количества измерений, в столбце «Сумма» — суммы величин, в столбце «Среднее» — средние арифметические значения, в столбце «Дисперсия» — дисперсии.
Полученные результаты показывают, что наибольшая средняя разрывная нагрузка в партии №1, а наибольшая дисперсия разрывной нагрузки -в партии №2, №1.
В диапазоне ячеек А10:G15 отображается информация, касающаяся существенности расхождений между группами данных. В строке 11 находятся названия параметров дисперсионного анализа, в строке 12 — результаты межгрупповой обработки, в строке 13 — результаты внутригрупповой обработки, а в строке 15 — суммы значений этих двух строк.
В столбце SS расположены величины варьирования, т.е. суммы квадратов по всем отклонениям. Варьирование, как и дисперсия, характеризует разброс данных.
В столбце df находятся значения чисел степеней свободы. Данные числа указывают на количество независимых отклонений, по которым будет вычисляться дисперсия. Например, межгрупповое число степеней свободы равняется разности количеству групп данных и единицы. Чем больше число степеней свободы, тем выше надежность дисперсионных параметров. Данные степеней свобод в таблице показывают, что для внутригрупповых результатов надежность выше, чем для межгрупповых параметров.
В столбце MS расположены величины дисперсии, которые определяются отношением варьирования и числа степеней свобод. Дисперсия характеризует степень разброса данных, но в отличие от величины варьирования, не имеет прямой тенденции увеличиваться с ростом числа степеней свобод. Из таблицы видно, что межгрупповая дисперсия значительно больше внутригрупповой дисперсии.
В столбце F находится, значение F-статистики, вычисляемое отношением межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.
В столбце F критическое расположено F-критическое значение, рассчитываемое по числу степеней свободы и величине Альфа. F-статистика и F-критическое значение используют критерий Фишера-Снедекора.
Если F-статистика больше F-критического значения, то можно утверждать, что различия между группами данных носят неслучайный характер. т.е. на уровне значимости б = 0,05 (с надежностью 0,95) нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная: что скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения. В столбце Р-значение находится значение вероятности того, что расхождение между группами случайно. Так как в таблице данная вероятность очень мала, то отклонение между группами носит неслучайный характер.
Сравнение IBM SPSS Statistics 20 и Microsoft Office 2013
однофакторный дисперсионный случайный программа
Посмотрим на выводы программ, для этого взглянем еще раз на скриншоты.
|
Однофакторный дисперсионный анализ |
||||||
|
группа |
||||||
|
Сумма квадратов |
ст.св. |
Средний квадрат |
F |
Знч. |
||
|
Между группами |
31,444 |
2 |
15,722 |
7,447 |
,006 |
|
|
Внутри групп |
31,667 |
15 |
2,111 |
|||
|
Итого |
63,111 |
17 |
||||
Таким образом программа IBM SPSS Statistics 20 лучше производит счет, может округлять числа, строить наглядный график (см. полное решение) по которому можно определить ответ, в ней более подробно описаны, как условия задачи, так и их решение. В Microsoft Office 2013 есть свои плюсы, во — первых это, конечно, его распространённость так как Microsoft Office 2013 установлен почти в каждом компьютере, он выводит Fкритическое, что не предусмотрено в SPSS Statistics, а также там тоже просто и удобно считать. Все-таки обе этих программы очень хорошо подходят для решения задач на однофакторный дисперсионный анализ, у каждой из них есть свои плюсы и минусы, но если считать большие задачи с большими условиями рекомендовал бы SPSS Statistics.
Заключение
Дисперсионный анализ применяется во всех областях научных исследований, где необходимо проанализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. В современном мире есть множество задач на однофакторный дисперсионный анализ как в экономике, психологии, биологии. В результате изучения теоретического материала было установлено, что основой дисперсионного анализа является теорема о сложении дисперсий, из множество пакетов прикладных программ, в которых реализован аппарат дисперсионного анализа, подобранны самые лучшие и включены в работу. Благодаря появлению новых технологий каждый из нас может проводить исследования (решения), затрачивая при этом меньше времени и усилий на вычисления, при помощи ЭВМ. В процессе работы были поставлены цели, задачи, которые были достигнуты.
Cписок литературы
Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии [Текст] / СПб. 2011. — 256 с.
Математическая статистика для психологов Ермолаев О.Ю [Текст] / Москва_2009 -336с
Лекция 7. Аналитическая статистика [Электронный ресурс]. , Дата доступа: 14.05.14
Теория вероятностей и математическая статистика[Текст] / Гмурман В.Е 2010 -479с
Размещено на