Развитие пространственного мышления младших школьников в процессе изучения геометрического материала

метки: Математик, Геометрический, Развитие, Фигура, Представление, Задание, Пространственный, Начальный

РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Содержание

Введение

Глава 1. «Психолого-педагогические основы развития пространственного мышления в процессе изучения геометрического материала»

.1 Возрастные и индивидуальные характеристики младших школьников

.2 Специфика пространственного мышления как вида умственной деятельности

.3 Исторический обзор изучения элементов геометрии в начальной школе

Глава 2. «Опытно-экспериментальная работа по развитию пространственного мышления младших школьников»

.1 Анализ геометрического материала в учебниках математики для 1-4 классов с точки зрения формирования пространственного мышления обучающихся

.2 Диагностика пространственного мышления младших школьников

.3 Описание опытно-экспериментальной работы по формированию пространственного мышления у учащихся

.4 Контрольная диагностика уровня развития пространственного мышления младших школьников

Заключение

Список литературы

Введение

Одной из стратегических целей государственной образовательной политики в современной России является обеспечение качественного образования, соответствующего современным потребностям общества. Об этом свидетельствует ряд документов, среди которых:

Национальная стратегия действий в интересах детей на 2012 -2017 годы [52];

—Государственная программа Российской Федерации «Развитие образования» на 2013-2020 годы [45];

Федеральный государственный образовательный стандарт начального образования[53];

Концепция развития математического образования в Российской Федерации [47].

В контексте данных документов начальное образование рассматривается в качестве фундамента всего последующего образования. И это не случайно: возраст младшего школьника является наиболее благоприятным для развития его интеллекта. С 2010 года в начальной школе осуществляется реализация ФГОС НОО, в рамках которого большое внимание уделяется формированию универсальных учебных действий (личностных, познавательных, регулятивных, коммуникативных), способствующих становлению личности ребенка.

Особенности волевых действий младших школьников. Основные новообразования ...

... развития психических состояний и индивидуально-психологических особенностей младших школьников – 2 ч. (СЗ) Особенности волевых действий младших школьников. Основные новообразования волевой сферы младших школьников. Развитие ... конструктивно-технической деятельности способствует практическая направленность ума ребенка, пространственное воображение, учет им важных для достижения результата требований ...

В начальной школе, в том числе и на уроках математики, ведется целенаправленная работа по развитию мыслительных операций, являющихся базой для умственных действий ребенка. Формирование пространственного мышления приобретает особую значимость: ведь именно оперирование внутренними образами лежит в основе большинства умственных действий ребенка — от простого воспоминания до абстрактного рассуждения.

Ведущие отечественные психологи (И. С. Якиманская, И. Я. Каплунович, Е.Н. Кабанова-Меллер и др.) выделяют возраст от 6 до 10 лет в качестве сензитивного периода развития пространственного мышления [57],[23],[22]. Методисты же уделяет внимание способам организации учебной деятельности младших школьников в процессе формирования пространственного мышления в начальной школе (А.М. Пышкало, Н.С. Подходова и др.) [46],[42].

В современных учебниках математики для начальной школы Н. Б. Истоминой, М.И. Моро и др. представлены учебные задания, при выполнении которых у детей формируются различные логические операции и развивается пространственное мышление. В результате освоения содержания курса

«Математика» 1-4 классы дети научатся: описывать взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости; распознавать, называть и изображать простейшие геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, прямой угол, многоугольник, треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг).

В то же время дети получат возможность научиться соотносить реальные объекты с моделями геометрических фигур, распознавать плоские и кривые поверхности, распознавать и называть объёмные геометрические фигуры.

В связи с вышеизложенным перед начальной школой встает важная задача обеспечения геометрической подготовки учащихся и развития их пространственного мышления. Решение этой задачи связано, на наш взгляд, со способами организации деятельности младших школьников в процессе усвоения геометрического материала.

Именно методическая сторона реализации ФГОС НОО требует тщательной разработки. Это актуально не только для будущих учителей начальных классов, но и для многих учителей- практиков, которые испытывают затруднения при организации учебной деятельности школьников в ходе формирования геометрических представлений. Наблюдения за уроками и работой педагогов, беседы с ними показали, что многие из них отмечают важность геометрического материала как средства формирования пространственного мышления.

Однако учителя отмечают и тот факт, что имеющихся методических пособий по формированию пространственного мышления младших школьников недостаточно. Педагоги отмечают, что довольно часто большая часть урока отводится на вычисления и решение задач, а геометрический материал включается по «остаточному» принципу, т.к. дети «не готовы к его восприятию».

Пространственное мышление школьника

... звена, пространственного мышления, без которого нельзя говорить о полном развитии мышления учащихся. Проблемы формирования пространственного мышления младшего школьника. Мышление, особенности и виды. Прежде, чем говорить о пространственном мышлении и ... он развивает их самостоятельно и спонтанно. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия. Вопросы психологии,1966,с.133 У Б.Рассела была ...

Иногда работа учителя сводится к показу образца и сообщению информации, а дети оказываются в роли наблюдателей: потенциал учебных заданий оказывается не раскрыт полностью. Крайне редко используются задания, включающие приемы умственных действий (логические операции), в ходе выполнения которых дети оперируют пространственными образами, работают со структурой объекта и т.д. Результаты анализа практики обозначили некоторое противоречие между требованиями к процессу обучения математике в начальной школе и способами формирования пространственного мышления младших школьников.

Все вышеизложенное обусловило выбор темы исследования: «Развитие пространственного мышления младших школьников в процессе изучения геометрического материала».

Объект исследования: процесс обучения элементам геометрии младших школьников.

Предмет исследования: учебные задания как средство развития пространственного мышления младших школьников при обучении геометрии.

Гипотеза исследования: если в уроки математики систематически включать учебные задания, содержащие геометрический материал, в ходе работы с которыми дети будут оперировать пространственными образами, то это окажет положительное влияние на развитие пространственного мышления учащихся.

Цель исследования: обосновать эффективность учебных заданий по геометрии на развитие пространственного мышления младших школьников.

Заявленная цель работы предопределила решение следующих задач:

1.Охарактеризовать возрастные и индивидуальные особенности младших школьников.

2.Проанализировать психолого-педагогическую литературу по проблеме развития пространственного мышления младших школьников и выделить показатели развития пространственного мышления.

3.Проанализировать содержание геометрического материала в учебниках по математике для начальной школы с точки зрения возможности формирования пространственного мышления.

4.Отобрать геометрический материал, нацеленный на развитие пространственного мышления младших школьников, и проверить его эффективность.

5.Организовать работу по развитию пространственного мышления младших школьников.

Опытно-экспериментальное исследование проводилось на базе ГБОУ города Москвы «Школа с углубленным изучением английского языка № 1208 имени Героя Советского Союза М.С. Шумилова», во 2 «В» классе.

Глава 1. «Психолого-педагогические основы развития пространственного мышления в процессе изучения геометрического материала»

Особенности развития зрительного восприятия и пространственного ...

... пространственного мышления младших школьников. Задачи работы: . Изучить развитие зрительного восприятия у младших школьников. 2. Выявить особенности развития пространственного мышления у младших школьников. 3. Экспериментально исследовать особенности зрительного восприятия и пространственного мышления у младших школьников. Объект работы: зрительное восприятие и пространственное мышление у младших ...

.1 Возрастные и индивидуальные характеристики младших школьников

Развитие ребенка в возрасте от 7 до 10 лет происходит в условиях новой для него ситуации обучения в начальной школе (внешний фактор) и интенсивной перестройки и развития мозговой организации психических процессов (внутренний фактор).

Обеспечение оптимального соответствия этих двух факторов — внутреннего психосоматического и внешнего социально- педагогического — является необходимым условием благоприятного проживания каждым ребенком этого критического периода.

В этом возрасте начинает активно развиваться нервная система, обеспечивающая оптимальное развитие познавательных процессов, целью которых на каждом этапе онтогенеза является адаптация к постоянно изменяющимся ситуациям окружающего мира.

Иными словами, системно- динамическая мозговая организация психических функций в норме подготовлена к своей актуализации в новых условиях, сформированы предпосылки для превращения потенциальных ресурсов мозга в актуальные.

Однако познавательные процессы и высшие формы поведения не даны человеку изначально. Их развитие должно быть востребовано извне стимуляцией от социума и обеспечено организацией процессов образования.

Например, произвольность как возрастное психическое новообразование не появляется самостоятельно и неизбежно, но формируется в ситуации целенаправленного обучения. Произвольность психических процессов признается учеными в качестве одного из новообразований, характеризующих возраст младшего школьника, и предполагает сознательное управление в соответствии с возрастными возможностями и собственными когнитивными процессами. Младший школьный возраст рассматривается как сензитивный период формирования произвольности.

К концу дошкольного детства ребенок уже способен планировать, организовывать свои действия, подчиняться инструкциям взрослого, не совпадающими с его собственными желаниями, удерживать внимание и запоминать материал, не отвечающий его сиюминутным потребностям и интересам. Однако эта способность носит еще нестойкий характер, и познавательные операции, поддерживаемые волевым усилием, легко вытесняются возможностью более интересного времяпрепровождения, непосредственно привлекающего ребенка [3], [55].

В младшем школьном возрасте происходят изменения в процессах восприятия информации. В начале школьного обучения перцептивные возможности 7-8-летних детей еще довольно ограничены и неоднородны.

Внимание в младшем школьном возраст претерпевает существенные прогрессивные изменения. В 7―8 лет механизмы внимания еще носят черты незрелости, но к 9-10 годам перцептивные способности достигают требуемого уровня развития. Поэтому в успешности познавательных действий младшего школьника на начальном этапе обучения большую роль играют непосредственная привлекательность и эмоциональная окраска при предъявлении информации. Педагог может также использовать потребность ребенка в положительном эмоциональном подкреплении для обеспечения внимания к учебному материалу.

Развитие пространственного мышления в процессе изучения младшими ...

... - Изучить особенности развития пространственного мышления младших школьников; - Провести эксперимент для выявления уровня развития пространственного мышления в процессе изучения младшими школьниками ... пространственных характеристик не является центральным моментом По мнению И. С. Якиманской пространственное мышление структурно представлено двумя видами деятельности: созданием пространственного образа ...

С началом школьного обучения в связи с увеличением объемов информации, требующих ментальной обработки, возникает необходимость произвольного запоминания учебного материала в соответствии с целью и задачами учебных действий.

Перевод системы памяти от непосредственного запоминания, свойственного дошкольникам, на новый уровень, предполагающий запоминание, опосредованное когнитивными задачами, в младшем школьном возрасте требует развития новых качеств памяти у учащихся. Преобразование процессов памяти как высшей психической функции происходит в процессе их целенаправленного формирования: первоначально педагог специально учит детей выделять смысл информации, представленной в различных формах, устанавливать логические связи предметов и явлений, подлежащих запоминанию. При этом механическая память сохраняет свою актуальность для процесса учения.

Таким образом, одной из задач обучения на этом этапе является организация произвольного запоминания детьми учебной информации, поступающей по разным каналам, на основе осмысления.

В организации ментальных процессов у младших школьников можно выделить две основные стадии. Как правило, в 1-2 классах их мышление сохраняет свойства ментальных операций дошкольников: анализ учебного материала производится по преимуществу в наглядно-действенном и наглядно- образном плане.

Дети воспринимают и оценивают предметы и явления по их отдельным внешним признакам, без понимания внутренних связей. Их выводы и суждения опираются на наглядные характеристики объектов, умозаключения выводятся на основе непосредственно воспринимаемых данных.

Обобщение понятий сильно зависит от внешних характеристик предметов и фиксирует те свойства, которые даны в готовом виде. К 3-му классу при благоприятных условиях развития и обучения мышление младшего школьника переходит в качественно новую, вторую стадию, когда формируется система понятий, словесно-логическое мышление, дети осваивают внутренний план действия, основы классификационной деятельности, процессов категоризации и концептуализации и т.д. [2], [49].

Среди новообразований младшего школьного возраста, наряду с произвольностью, специалисты рассматривают также рефлексию, деятельностные составляющие (способность к осознанию мотива и цели, планирование, ориентировка, прогнозирование результата, исполнение, контрольно-оценочные действия), способность выполнять учебные действия во внутреннем плане [6],[50]. Формирование учебной деятельности приводит к серьезным перестройкам в личностной сфере младшего школьника на данном этапе онтогенеза [28].

На основе опыта практической деятельности, общения, познания, всей системы социальных контактов, в которые включен ребенок, формируется система социальных ценностей: отношение к жизни, к другому человеку, к природе, к труду и результатам труда, к своей личности. Успешная и адекватная социализация зависит от множества факторов: учебной деятельности (как определяющего звена в этой совокупности), характера межличностного общения в классе, взаимоотношений с педагогом и выполнения школьных норм и правил поведения [8].

Основные типы специальных занятий по обучению пространственной ...

... действенных ситуациях.   Анализ программ по обучению пространственной ориентировке слепых детей. Й год обучения. На первом году обучения детей учат различать и правильно называть части ... пространства в понятийно-логической форме. Система работы (Т.А. Мусейибова) по развитию у дошкольников пространственных представлений включает: 1) ориентировку «на себе», освоение «схемы собственного ...

Стойкой особенностью младших школьников является большой индивидуальный разброс темпов развития, который на этом возрастном этапе, по данным различных источников, достигает от одного до трех лет [10].

Начало систематического обучения в школе, переход к новым социальным условиям, ставит перед ребенком новые задачи и рассматривается в психолого-педагогической литературе в качестве стрессового фактора. Знание физиологических механизмов, определяющих особенности психических процессов и функциональные возможности ребенка в процессе обучения, является важнейшим условием обеспечения адаптации к школе.

Для дальнейшего успешного обучения и развития необходима целенаправленная работа по формированию предметных знаний, учебной деятельности, новых качеств познавательных способностей. В связи с интенсивным характером развития младших школьников и особой ответственностью этапа начала школьного образования особенно ярко выступает на передний план последовательный учет возрастных и индивидуальных особенностей детей в области познавательного, эмоционально-личностного и социокультурного развития при организации учебно-воспитательного процесса.

1.2 Специфика пространственного мышления как вида умственной деятельности

Мышление — психический процесс отражения действительности, высшая форма творческой активности человека [38].

«Пространственное мышление, — отмечает И.С. Якиманская, — это специфический вид умственной деятельности, обеспечивающий создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения разнообразных графических задач. Основой пространственного мышления является деятельность представления, осуществляющаяся на 2-х уровнях (создание образа и оперирование им).

Создание образа это репродуктивная деятельность. При создании образа мысленному преобразованию подвергается наглядная основа, на базе которой возникает образ. Создание образов обеспечивает накопление запаса пространственных представлений. Оперирование образом ― это всегда продуктивный процесс, где образ мысленно видоизменяется.

Пространственные представления складываются поэтапно:

действия с реальными предметами;

—действия с воображаемыми предметами;

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ...

... проблема исследования: каковы наиболее эффективные современные технологии обучения при формировании здорового образа жизни на уроках окружающего мира в ... процесс формирования здорового образа жизни. Предметисследования: современные технологии обучения. Гипотезаисследования:применение современных технологий обучения способствует оптимальному формированию здорового образа жизни младших школьников ...

умственные действия [57].

это образы, которые отражают пространственные свойства и отношения предметов. Эти представления подразделяются на образы памяти и воображения. Они различаются по тем путям, которыми создаются. Первые являются результатом деятельности пространственной памяти, вторые создаются процессами воображения, которые в свою очередь делятся на процессы воссоздающего и творческого воображения. Процесс воссоздающего воображения характеризуется созданием новых образов на основе заданного наглядного материала» [22].

Геометрический образ, созданный на основе пространственного представления, как правило, на начальной ступени отождествляется с понятием через выделение существенных признаков. Пространственные представления являются основой логически определяемых понятий, на которых строится дальнейшее изучение геометрии в старших классах. Через образ учащиеся вводятся в мир математических понятий, терминов, символов , т. е. в мир теоретических знаний. Пространственное мышление оперирует геометрическим образом, а слово является средством выражения, интерпретацией выполненных в образах преобразований. Образ имеет двойственный характер. С одной стороны, он отражает чувственный опыт, возникающий в непосредственном контакте ребёнка с окружающим миром, с другой стороны, включает результаты теоретического осмысления представленного в системе понятий.

Исследования показывают, что развитие пространственного мышления есть сложный и самостоятельный процесс. Он не является прямой функцией отражения пространства при восприятии образа, поэтому обучение должно строиться так, чтобы обеспечить всестороннее развитие психических процессов ребёнка.

Для определения уровня развития пространственного мышления психология располагает рядом показателей. Основными качественными показателями пространственного мышления являются:

.Тип оперирования пространственными образами;

2.Полнота образа, которая характеризует его структуру, т. е. набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение (преимущественное отражение в нем формы, величины, пространственного положения объектов);

.Широта оперирования — степень свободы манипулирования образом;

.Используемая система отсчета (пространственная ориентация «от себя», от произвольной точки отсчета)

По мнению И.С. Якиманской оперирование образами характеризуется как сложный вид деятельности, имеющий специфическое содержание и формы осуществления. Все многообразие случаев оперирования пространственными образами можно разделить на три основных типа.

Развитие музыкально-творческих способностей детей среднего дошкольного ...

... детства особенностями: эмоциональной отзывчивостью, интересом к увлекательно-творческим заданиям, интенсивностью мышления, поэтому нужно учить детей активному восприятию, переживанию музыкальных произведений, ... развития музыкально-творческих способностей детей среднего дошкольного возраста в процессе обучения пению. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: процесс развития музыкально-творческих способностей детей ...

Первый тип оперирования характеризуется тем, что преобразуется пространственное положение и не затрагиваются структурные особенности образа. Примерами такого оперирования являются различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа.

Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ под влиянием задачи преобразуется в основном по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления и т. п.

Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного образа происходят длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразование исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре [58].

В соответствии с тремя типами оперирования, психологи, выделяют три уровня развития пространственного мышления (низкий, средний, высокий).

В своем исследовании И.Я Каплунович доказал, что тип оперирования является надежным показателем уровня развития пространственного мышления [23].

Однако типы пространственного мышления не являются полным показателем пространственного мышления. Сформированность пространственных представлений дает ребенку возможность не только оперировать, но и изменять пространственное положение образов. Представления о пространственных отношениях позволяют размещать и ориентировать объект в какой-либо системе отсчёта. Под ориентацией в пространстве какого-либо объекта следует понимать его положение среди совокупности объектов по отношению к другим объектам относительно какой-нибудь системы отсчёта. Определить положение какого-нибудь объекта — значит указать его место в совокупности мест, занимаемых данной группой объектов, общий порядок расположения объектов определяется при помощи какой-нибудь системы отсчета. Для младших школьников такой системой отсчёта изначально становится «схема собственного тела». Пространственные представления связаны с восприятием положения нашего тела в пространстве. Изменение этого положения вносит изменение в пространственные представления. Однако для общего понимания пространства необходим переход от фиксированной в себе точки отсчета к системе со свободно перемещаемой точкой отсчёта [48].

Младший школьный возраст является сензитивным для постепенного развития пространственных представлений, обеспечивающих оперирование пространственными свойствами.

Таким образом, на основе анализа психолого-педагогической литературы выявлена специфика пространственного мышления как вида умственной деятельности, имеющего место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (видимом и воображаемом), а также основные показатели пространственного мышления.

Особенности использования аналитико-синтетического метода обучения ...

... для детей с ТНР. Представлены выводы по результатам исследования. Предмет исследования – обучение младших школьников (учащихся школы для детей с тяжёлыми нарушениями речи) письму посредством применения ... грамматической сторон речи вследствие этого у большинства детей данного категории наблюдается ограниченность мышления, речевых обобщений, трудности в чтении и письме. Из тяжелых нарушений речи чаще ...

1.3 Исторический обзор изучения элементов геометрии в начальной школе

В структуре математического образования особое место занимает геометрия. Геометрия традиционно считается одним из сложных математических разделов. Это заблуждение может быть вызвано непоследовательной реализацией принципа учета возрастных особенностей учащихся, недостаточным учебным материалом на каком-либо этапе процесса обучения (мотивационном, ориентировочном, исполнительном, контрольно-оценочном), отсутствием или непроработанностью внутренних взаимосвязей в содержании и т.д. [54]. Для достижения наилучших результатов в обучении геометрии младших школьников целесообразно изучить уникальный позитивный опыт отечественной школы: русской дореволюционной, советской и российской.

Исследованием истории преподавания геометрии занимались Т.К. Авдеева [1], Ю. М. Колягин [25], Т. С. Полякова [44], О. В. Тарасова [51] и другие. В трудах этих ученых описывается процесс выделения геометрии в самостоятельный учебный предмет, вклад отечественных ученых и педагогов дореволюционного и советского этапов в теорию и практику обучения, устанавливается периодизация этапов изучения геометрии на начальной и последующих ступенях обучения, анализируются различные взгляды авторов учебников и методик преподавания на роль и место геометрии в структуре школьного образования, вариативные подходы к отбору содержания подготовительного и систематического курсов геометрии, прослеживается создание учебной литературы по геометрии от обособленных очерков до методических пособий для педагогов.

В начале прошлого столетия раздел геометрии подлежал изучению в различных типах школ: в классических гимназиях и реальных училищах, военных заведениях и женских училищах, школах, уездных учебных заведениях. В распоряжении учителей находились учебники по геометрии, созданные разными авторами, в том числе переводные, и ориентированные на преподавание на разных этапах и уровнях. В числе авторов были не только математики, но и представители иных областей знания: геофизик Э.Вихерт, нефтехимик Л. Г. Гурвич, физиолог П.Бэр, художник Г.Н. Алексеев. В основу построения учебных пособий по геометрии были положены принципы наглядности преподавания и доступности содержания, которые были сформулированы Я.А. Коменским. Практическая направленность изучения геометрии (землемерие, черчение, реальные задачи по преобразованию объектов окружающего мира) выступила на передний план во времена реформ Петра Первого. Общеобразовательный эффект геометрии был признан во второй половине XVIII века, о чем свидетельствует рассмотрение геометрии как самостоятельного раздела математики и ее изучение в академических гимназиях, морских корпусах, кадетских и общеобразовательных школах. В это время появляются первые отечественные учебники по геометрии (С. И. Назаров, Д. С. Аничков, М. Е. Головин, С. Я. Румовский, Н. Г. Курганов, и др.), а также методические разработки по её преподаванию.

Во второй половине XIX века геометрия получила статус самостоятельного учебного предмета. Кроме того, материал, подлежащий изучению, был распределен между начальной и систематической ступенями обучения. Уточняются теоретические основы, формулируются задачи, отрабатываются содержание и методические приемы.

В середине XIX века в эпоху школьной реформы вопросы педагогики становятся особенно актуальными. Создается Петербургское педагогическое общество, издаются педагогические журналы («Народная школа», «Русский педагогический вестник» и другие).

Начинают работать двуклассные училища Министерства народного просвещения. Для преподавания в таких учебных заведениях создается специальный курс геометрии, который был построен на эмпирической основе с максимальным использованием наглядного материала в соответствии с возрастными возможностями учащихся [51]. Однако, наряду с приверженцами изучения геометрии в начальных классах, у этого предмета нашлось и немало противников, которые объясняли свой протест перегрузкой учебных планов. В пользу сохранения начального изучения геометрии выступили методисты-математики (В.А. Евтушевский, В.В. Латышев, А.Н. Страннолюбский).

В.А. Евтушевский предложил решить проблему перегрузки созданием более гибких учебных пособий, в которых отбор содержания обучения происходил в соответствии с профилем учебного заведения, и соответственно, целями обучения. В.В. Латышев большое внимание уделял прикладному компоненту геометрии, что было реализовано им в разнообразных измерениях объемов и площадей, вычислениях, построении планов, геометрических операций с использованием линейки и циркуля.

Однако с назначением нового министра просвещения Д.А.Толстого, наступил длительный этап возобновления классического образования (изучение древних языков и грамматик) в ущерб естественным наукам, что повлекло исключение начального курса геометрии из учебных программ практически до конца XIX века.

К началу XX века школьный курс математики состоял из четырех разделов: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия. При этом, наиболее разработанной оказались структура и содержание систематического курса математики в противоположность начальному курсу математики, содержание которого было предметом постоянных дискуссий как учителей, так и авторов учебников. Программа по математике была перегружена и включала сведения, недоступные для детей. В основу построения начального курса математики был положен арифметический материал, остальные разделы математики были в качестве пропедевтических, либо отсутствовали вовсе [4].

Наряду с учебниками в школах использовались и задачники. В учебных заведениях разной направленности на разных ступенях процесса обучения использовались учебно-методические комплекты по начальному и систематическому курсам геометрии, обеспечивающие преемственность между ступенями обучения на базе единой теоретической основы, дидактических принципов, методики преподавания (Г.Я. Юревич, А.М. Кулишер и др.).

В младшем звене школы изучали начальную геометрию, в среднем звене — планиметрию, в старшем звене — стереометрию.

В разработке дидактических основ школьного курса геометрии особая роль принадлежит Н.И. Лобачевскому, В.Я. Буняковскому, А.М. Астрябу, А.М. Кулишеру, С.И. Шохор-Троцкому, В.К. Беллюстину.

Н.И. Лобачевский предложил фузионистский подход в обучении математике.

В.Я. Буняковский выдвинул на первый план в обучении геометрии реализацию принципа соответствия содержания обучения возрастным возможностям учащихся и распределил учебный геометрический материал по возрастам.

А.М. Астряб разработал материалы по изучению геометрии на наглядной основе в учебных заведениях различного профиля, в том числе в народных школах и кадетских корпусах.

А.М. Кулишер первым создал целостный учебно-методический комплект по вводному курсу геометрии.

С. И. Шохор-Троцкий разработал метод целесообразных геометрических задач.

В.К. Беллюстин последовательно применил при построении содержания принцип природосообразности обучения.

В 1911 — 1912гг в Петербурге и Москве проходили съезды учителей- математиков. На первом съезде с пленарным докладом выступил С.А. Богомолов, который обосновал необходимость изучения геометрии в школе с разделением по двум основным этапам обучения. По его мнению начальный курс геометрии должен быть построен на принципе фузионизма; большое внимание следует уделить разнообразному экспериментированию, практической деятельности с геометрическими объектами; следует развивать понимание пространственных отношений, накоплению эмпирических знаний.

А.М. Кулишер привлек внимание присутствующих к позитивному опыту первоначального изучения детьми пространственных объектов в противовес работе в плоскости. Выступающий обосновал такой подход тем, что ребенок в окружающем мире видит вокруг себя предметы шарообразной, кубической, а также формы прямоугольного параллелепипеда. Реальность и привычность объемных тел, несмотря на кажущуюся их сложность, облегчает изучение в противоположность абстрактным плоскостным формам и линиям. Таким образом, исследование площади и объема привычных предметов оказывается вполне доступным для изучения в начальном курсе геометрии.

А.Р. Кулишер сформулировал дидактические и научные основы построения пропедевтического курса геометрии:

.Соответствие содержания изучения геометрии возрастным особенностям учащихся. Последовательное применение этого фундаментального принципа на всех этапах и уровнях обучения. Построение курса геометрии на основе принципов дидактики. Обучения должно поддерживаться активной деятельностью самого учащегося при усвоении знаний.

2.Все знания учащихся должны перейти в область твердых навыков. Их объем должен быть разумным, должна быть исключена перегрузка учеников.

.Учебный материал должен быть понят и освоен в практической деятельности и сопровождаться внешнеречевым проговариванием.

.Материал, подлежащий усвоению, должен быть связан с теми пространственными представлениями, которые ребенок может наблюдать среди объектов строительства, инженерного искусства, окружающей природы.

.Учебный материал должен изучаться во взаимосвязи предыдущих и последующих тем. Следует исследовать объекты как объемные, так и плоскостные.

.Следует учитывать такое свойство геометрических образов, как текучесть (непрерывная преобразуемость геометрических образов).

.Нужно учить детей рассуждать, обобщать, доказывать свои выводы.

.При построении начального и систематического курсов геометрии следует соблюдать преемственность содержания [27].

А.М. Кулишер последовательно применил приведенные установки при написании собственных учебников, методических материалов по обучению геометрии на начальном этапе ее преподавания (в 1914 — 1918гг).

В резолюции первого съезда говорилось о необходимости введения начального курса геометрии, который должен подготавливать учащихся к последующему изучению в систематическом курсе, способствовать развитию мышления и выработке «пространственной грамотности» учащихся.

При построении школьного курса геометрии использовались следующие базовые подходы:

1)практический подход, при котором во главу угла ставились принципы доступности и наглядности в преподавании. Учащиеся решали задачи на измерение и построение геометрических объектов как в пространстве, так и на плоскости. Такой подход был реализован в учебниках В.В. Добровольского, Я.Фальке и др.

2)фузионистский подход, при котором учебники геометрии включали темы из планиметрии и стереометрии, в соответствии с логикой изложения автора (З. Б. Вулих, М.Ф. Косинский и др.).

«Наглядная геометрия», автором которой являлся барон М.Ф. Косинский, последовательно отрабатывала переход от чувственного восприятия геометрических объектов к абстрактным рассуждениям о них. (М.Ф. Косинский работал в Смольном институте вместе с К.Д.Ушинским.)

3)логический подход предполагал последовательное знакомство с такими базовыми понятиями, как точка, линия, поверхность, геометрическое тело (М.Ф. Борышкевич, А.Ф. Малинин и др.).

Изучение пространственных свойств и отношений геометрических объектов тесно увязывалось и находило применение в решении задач на построение.

Указанные подходы произвольно использовались при написании учебников и методических материалов. Ученые — математики предпочитали последовательно выстраивать учебный материал в рамках Евклидовой науки. Геометрия рассматривалась не с практической точки зрения, а как средство развития логического мышления учащихся (Н.А. Билибин, Ф.И. Семашко и др.).

Учителя-практики, выступавшие авторами учебников, ставили целью привить учащимся навыки измерения, вычисления, построения, решения геометрических задач. Таким образом, наряду с целью развития логики, решались задачи соединить образование с практической деятельностью.

В 1934 г. школьное образование было разбито на три ступени: начальную; неполную среднюю; среднюю. В связи с этим возникла необходимость в создании единых программ и учебников, обеспечивающих приобретение одинакового набора знаний. По геометрии были созданы стабильные учебники (учебник А.П. Киселева и задачник Н.А. Рыбкина).

В качестве негативного следствия такого процесса оказалось игнорирование прогрессивных и важных для обучения практических и методических наработок прошлых лет [9].

В 1955 году была издана книга П.А. Карасева [24], в которой автор утверждал, что интуитивная (наглядная) геометрия не должна иметь характер придатка к арифметике. Он описал наглядный метод в преподавании начального курса геометрии, который заключался в «живом созерцании», конструировании, моделировании, построении и измерении. Автор предлагал использовать нетрадиционные средства: нить, лист бумаги, палочки и т.п.

Начиная с 1969 года, в курс математики начальных классов введен геометрический материал как составная часть единого курса математики. А.М. Пышкало были выявлены несколько уровней мышления в области геометрии, а именно:.Исходный уровень — характеризуется тем, что геометрические фигуры воспринимаются как целое. Учащиеся не видят частей (элементов) фигуры, не воспринимают отношений между элементами фигуры и фигурами.

II.Учащиеся начинают различать элементы фигур, устанавливать отношения между этими элементами и отдельными фигурами, т.е. на этом уровне производится анализ воспринимаемых фигур. Это происходит в процессе (и с помощью) наблюдений, измерения, вычерчивания, моделирования. Свойства фигур устанавливаются экспериментально..Учащиеся устанавливают связи между свойствами фигуры и самими фигурами. На этом уровне происходит логическое упорядочивание свойств фигуры и самих фигур. Выясняется возможность следования одного свойства из другого; уясняется роль определения..Учащиеся постигают значение дедукции в целом как способа построения и развития всей геометрической теории. Переходу на этот уровень способствует усвоение учащимися (понимание ими) роли и сущности аксиом, определений, теорем; логической структуры доказательства; анализа логических связей понятий и предложений..Этот уровень мышления в области геометрии соответствует современному (гильбертовскому) этапу строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на таком уровне, развивает теорию вне всякой конкретной интерпретации. Геометрия здесь приобретает общий характер и более широкое применение.

Переход от одного уровня к другому не может происходить произвольным образом и зависеть только от возрастных особенностей школьников. Развитие, идущее к более высокому уровню геометрического развития, протекает в основном под влиянием обучения, т.е. прямо зависит от его содержания и методов. Учащиеся младших классов должны достичь второго уровня геометрического развития [46].

В 1977 А.М. Пышкало была разработана и представлена соответствующая система изучения геометрии в I- IV классах, причем он полагал, что процесс геометрического развития должен быть: непрерывным (не допускать пропусков

периодов без» действия); равномерным (не допускать перегрузки на каких»то эта» пах); разнообразным (касаться многих сторон в изучении пространственных отношений).

Разнообразие, по мнению автора, нужно понимать в смысле одновременного ознакомления учащихся с двумерной и трехмерной геометрией. Однако, в связи с реформами математического образования 60-80х годов школа надолго потеряла интерес к наглядной геометрии, вернувшись опять к изучению разрозненных элементов геометрической пропедевтики.

В настоящее время, в период модернизации школьного образования возрождается интерес к вопросам изучения элементов геометрии в начальной школе. Вопрос о подготовке учащихся к изучению систематического курса геометрии стал активно решаться в педагогической науке и школьной практике. Ему посвящены диссертационные исследования [11], [26], [41], [43]. Появляются пособия в виде тетрадей с печатной основой с геометрическими заданиями для младших школьников [5], [42], [12].

Интегративный курс «Математика и конструирование», написанный Волковой С.И и Пчелкиной О.Л., способствует развитию пространственного и логического мышления, становление технического мышления, конструкторских способностей, а также графической грамотности. Учебный курс представлен тетрадями с печатными основами с 1-4 классы [5].

Диссертационное исследование Е.В. Знаменской (1995) «Формирование пространственных представлений у младших школьников при изучении геометрического материала» дает обоснование возможности и целесообразности формирования пространственных представлений младших школьников на основе взаимосвязанного изучения элементов геометрии пространства и плоскости [11] .

В диссертационном исследовании «Развитие пространственного мышления школьников при изучении геометрического материала в начальном курсе математики» (1996) Кочеткова И. А. предложила представить геометрический материал в курсе математики 1- 4 классов в виде четырех блоков:

.Формирование пространственных представлений: о форме, размере и отношениях.

2.Формирование представлений об одномерных и двумерных геометрических фигурах и их свойствах и отношениях.

.Преобразование геометрических объектов (симметрия).

.Трехмерные геометрические фигуры [26].

Подходова Н.С. разработала концепцию личностно ориентированного обучения геометрии в начальной школе на основе целостного подхода, который реализуется через базовые методические принципы [42].

Покровская Т.А. показала, что изучение геометрии целесообразно строить на основе фузионистского подхода, когда «пространственные и плоские фигуры изучаются взаимосвязано и взаимозависимо» [43].

В дополнение к учебникам математики вновь стали создаваться геометрические тетради на печатной основе [41], [12], [56]. Их авторы ориентируются, прежде всего, на «общекультурные задачи обучения геометрии», на формирование элементарных конструктивно-геометрических умений и способности читать и понимать графическую информацию.

Как видно из вышесказанного, в 90-х гг. XX в. геометрическая составляющая начального курса математики вновь оказалась в центре внимания педагогической науки и практики, и вопрос об объеме, содержании и методике изучения геометрического материала в учебниках математики для начальной школы и сегодня является предметом обсуждения ученых-методистов.

Глава 2. « Опытно — экспериментальная работа по развитию пространственного мышления младших школьников»

Согласно государственным стандартам обучения в начальных классах общеобразовательной школы одной из целей начального математического образования является формирование у младших школьников достаточно полной системы пространственных представлений, ознакомление учащихся с различными геометрическими фигурами и некоторыми их свойствами, с простейшими чертежами и измерительными приборами [53]. Эта цель последовательно реализуется путем решения следующих задач:

формирование геометрических представлений об образах геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами и их элементами;

выработка практических умений и навыков в измерениях и построении простейших геометрических фигур с помощью чертежных инструментов;

развитие пространственных представлений, воображения и пространственного мышления учащихся;

обогащение математического словарного запаса, развитие речи учащихся.

Проанализируем наиболее распространенные в настоящее время программы начального курса математики с целью выявления элементов их общности и различия в содержании ознакомления младших школьников с элементами геометрии.

Согласно программе обучения математике в начальной школе, разработанной группой методистов под руководством М.И. Моро (УМК «Школа России»), в 1 классе уточняются пространственные представления учащихся. С первых дней обучения ребенка в школе на уроках математики рассматриваются понятия «вверху», «внизу», «выше», «ниже», «слева», «справа», «левее», «правее», «перед», «за», «между», «рядом», а также направления движения «слева направо», «справа налево», «сверху вниз», «снизу вверх». Уже в процессе изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся знакомятся с точкой, прямой и кривой линиями, отрезком, ломаной, многоугольником, углом, вершиной и сторонами многоугольника. Здесь же школьники изучают геометрическую величину «длина отрезка», единицы измерения длины — сантиметр, дециметр, и соотношения между ними.

Во 2 классе в процессе изучения нумерации чисел от 1 до 100 младшие школьники продолжают знакомство с единицами длины (сантиметром, дециметром, миллиметром, метром) и соотношениями между ними. Школьники учатся находить длину ломаной и периметр многоугольника. Немного позднее они знакомятся с прямыми и непрямыми углами, прямоугольником, квадратом (как частным видом прямоугольника), свойством противоположных сторон прямоугольника и приемами вычисления периметра прямоугольника и квадрата. В это же время они учатся строить прямые углы, прямоугольники и квадраты на клетчатой бумаге. К концу второго класса обучающиеся должны уметь: чертить отрезок заданной длины и измерять длину данного отрезка; находить длину ломаной, состоящей из 3-4 звеньев, и периметр многоугольника (треугольника, четырехугольника).

В 3 классе продолжается ознакомление учащихся с геометрическими величинами. У школьников формируются представления о площади, единицах измерения площади (квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр) и соотношениями между ними. Рассматриваются формулы для вычисления площади прямоугольника и квадрата. Вводится обозначение геометрических фигур буквами латинского алфавита. Расширяются знания учащихся о круге, формируются представления об окружности, центре окружности, радиусе, диаметре окружности (круга).

В конце 3 класса учащиеся рассматривают виды треугольников. По окончанию третьего класса обучающиеся обязательно должны уметь находить периметр многоугольника и, в том числе, прямоугольника и квадрата.

В 4 классе уточняются представления учащихся об углах — рассматривают прямой, острый и тупой углы. На основе этих знаний рассматривают виды треугольников: прямоугольный, остроугольный, тупоугольный. Знакомятся с понятием «луч».

Обобщая знания о величинах, школьники рассматривают систему единиц измерения длины (миллиметр — сантиметр — дециметр — метр — километр) и соотношения между ними, а также единицы площади (квадратный миллиметр — квадратный сантиметр — квадратный дециметр — квадратный метр — ар — гектар — квадратный километр) и соотношения между ними. В этот период младшие школьники изучают понятие «диагональ прямоугольника» и свойства диагонали прямоугольника (квадрата).

В течение всего года проходит решение задач на распознавание геометрических фигур в составе более сложных; на разбиение фигуры на заданные части; составление заданной фигуры из двух-трех ее частей; изображение изученных фигур на клетчатой и нелинованной бумаге с помощью линейки, чертежного треугольника и циркуля.

Для обеспечения преемственной связи с курсом математики в пятом классе выпускники начальной школы должны иметь представление о названиях геометрических фигур: точка; линия (прямая, кривая); отрезок; ломаная; многоугольник и его элементы (вершины, стороны, углы), в том числе, треугольник; прямоугольник (квадрат); угол; круг; окружность; центр окружности; радиус.

При этом учащиеся должны знать: виды углов (прямой, острый, тупой); определение прямоугольника (квадрата); свойство противоположных сторон прямоугольника. Кроме того, младшие школьник должны уметь: строить заданный отрезок; строить на клетчатой бумаге прямоугольник (квадрат) по заданным длинам сторон [35].

В программе Н.Б. Истоминой (УМК «Гармония») методика формирования представлений о геометрических фигурах основана на активном использовании приемов умственной деятельности в процессе установления соответствия между предметной геометрической моделью и ее изображением, что способствует развитию пространственного мышления ребенка и формированию навыков работы с линейкой, циркулем, угольником. Н.Б. Истомина считает, что основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является их способность к восприятию формы. «Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломаную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином» [21]. По ее мнению, такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ. Это лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка.

В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на выделении тех элементов, из которых состоят геометрические фигуры, и на их существенных признаках. Для этой цели автор рекомендует геометрические фигуры изучать в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия. Полезно, чтобы в процессе выполнения специальных упражнений дети научились различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии».

Учащиеся могут находить (узнавать) прямые и кривые линии, отрезки, углы разных видов на плоских (круг, квадрат, многоугольник и т.п.) и объемных (куб, конус, цилиндр, шар и т.п.) геометрических фигурах. В процессе такой деятельности у школьников формируются обобщенные образы геометрических понятий.

Геометрический материал представлен двумя разделами: геометрические фигуры и геометрические величины. Содержание разделов распределяется в курсе математики по классам и включается в различные темы в соответствии с логикой построения содержания курса, которая учитывает преемственность и взаимосвязь математических понятий, способов действий и психологию их усвоения младшими школьниками.

Изучение геометрического материала начинается с 1 класса, где формируются первые представления об основных геометрических фигурах (точка, прямая и кривая линии, отрезок , ломаная), уточняются представления о пространственных отношениях. В начальных классах начинается формирование первоначальных представлений о точности построения и измерения. В 1 классе дети начинают овладевать навыками построения и измерения геометрических фигур с помощью линейки и циркуля. Во 2 и 3 классах представления о геометрических фигурах расширяются и углубляются. Дети знакомятся с плоскими (угол, многоугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг) и объемными (многогранники, куб, параллелепипед, шар, сфера) геометрическими фигурами, вычисляют периметр и площадь многоугольников (прямоугольника, квадрата).

По мнению автора программы, младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, достаточно легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними [36].

Таким образом, краткий анализ содержания программ обучения начальному курсу математики по вопросу изучения геометрического материала позволяет сделать следующие выводы:

1.Геометрический материал изучается на протяжении всего периода обучения математике в начальной школе.

2.Содержание геометрического материала для каждого класса предусмотрено с учетом возрастных особенностей и уровня развития мышления учащихся, круг формируемых у детей представлений о различных геометрических фигурах и некоторых их свойствах расширяется постепенно.

3.Различными программами предлагается разная степень наполнения уроков математики геометрическим материалом.

4.Во всех программах начального курса математики рассматривают такие понятия, как точка, прямая, кривая, ломаная, прямой угол, многоугольники различных видов (треугольники, четырехугольники (квадраты, прямоугольники), и др.) и их элементы (углы, вершины, стороны), круг, окружность, свойства геометрических фигур (равенство противоположных сторон прямоугольника, равенство диагоналей прямоугольника), понятия «периметр» и «площадь», а также приемы их вычисления.

5.В начальной школе предусматривается ознакомление младших школьников с классификацией углов, видами треугольников, стереометрическими телами (куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар, конус) и их изображением на плоскости, элементарными задачами на построение при помощи циркуля и линейки.

6.Система упражнений, представленных в учебно-методических пособиях, направлена на формирование практических умений (построение, вычерчивание, измерение, вычисления с использованием некоторых изучаемых свойств) и на развитие геометрической зоркости (умение распознавать элементарные геометрические фигуры на сложном чертеже, составлять заданные геометрические фигуры из частей, достраивать или видоизменять геометрические фигуры до заданного вида и др.).

7.Работа над геометрическим материалом по возможности увязывается с изучением арифметических вопросов, различные геометрические фигуры используются в качестве наглядной основы (модели) при формировании представлений о долях величины и при решении текстовых задач.

Для отбора заданий, способствующих развитию пространственного мышления, проанализируем две системы обучения младших школьников математике — учебники по УМК «Школа России» [29],[30],[31],[32],[33], [34],[39],[40], а также учебники УМК «Гармония» [13],[14],[15],[16],[17],[18],[19],[20],[21].

Рассмотрим общее количество геометрических заданий, с целью выделения из них заданий на развитие пространственного мышления. Количественные данные этого анализа отражены в таблице 1:

Таблица 1 Соотношение геометрического материала к общему числу математических заданий

УчебникиКлассВсего заданийВсего геометрических заданий% геометрических заданий от общего количестваУМК Школа России1390287,20%2786324,07%31250594,72%41461785,34%УМК Гармония15037314,50%26006711,17%36408513,29%47809011,54%

Количественный анализ геометрического содержания учебников математики показывает, что в учебниках М.И. Моро процентное соотношение заданий с геометрическим содержанием к общему числу заданий ниже, чем в учебниках Н.Б. Истоминой.

Дополняя количественный анализ соотношения геометрического материала к общему объему математических заданий анализом содержательной стороны этих заданий, выделим задания на измерения длин отрезков, сторон фигур и т.п., на построение с опорой на измерения («построй отрезок заданной длины», «построй прямоугольник с заданной длиной сторон» и так далее), на вычисления периметра и площади фигуры, то есть задания с геометрическими величинами.

Такие задания, по мнению большинства психологов и методистов, не влияют на развитие пространственных представлений и пространственного мышления.

Выделение этих заданий из общего числа задач с геометрическим содержанием дает возможность более объективно рассмотреть оставшиеся задания, которые, несмотря на их разнородность (это и задания на распознавание, и конструктивные задания, и задания на классификацию и сравнение и так далее) можно отнести к заданиям на «геометрию формы», то есть к тем именно заданиям, которые способствуют формированию пространственного мышления младшего школьника. Количественные данные этого анализа занесены в таблицу 2:

Таблица 2 Анализ содержательной стороны геометрических заданий

УчебникиКлассВсего геометрически х заданийИз них на геометрические величины% заданий на геометрические величины от всех геометрически х заданийИз них на геометрию формы% заданий на геометрические величины от всех геометрических заданийУМК Школа России1282382,00%518,00%2322887,50%412,50%3595084,70 %915,30%4786887,20 %1012,80%УМК Гармония1733042,00%4358,00%2674364,00%2436,00%3855058,80%3541,20%4906573,00%2527,00%

В учебниках М.И. Моро представлено более 80% заданий, которые связанны с геометрическими величинами. Приведем примеры таких заданий:

.Ломаная состоит из двух звеньев. Длина первого звена 1 дм, длина второго на 3 см меньше. Начерти эту ломаную. Узнай ее длину.

2.Начерти такие многоугольники и найди периметр каждого из них.

.На сколько сантиметров 1 м больше, чем 1 дм? 1 дм больше, чем 1 см?

4.Начерти такой прямоугольник. Вырежи его и разрежь по диагонали. Проверь наложением, что полученные треугольники равны. Найди площадь одного треугольника.

. > < =

В целом можно заметить, что задания разнообразные и направлены на формирование у детей представлений о величине, об измерении и сравнении величин. Доля заданий на «геометрию формы» в учебниках М.И.Моро дает результаты, не превышающие 18 % от всех геометрических заданий. Приведем примеры таких заданий.

1.Начерти такие фигуры и запиши название каждой из них.

.Отметь в тетради 8 точек, как на рисунке. Начерти окружности радиусом 1 см с центром в каждой отмеченной точке. Раскрась полученный узор.

Следует отметить, что эти задания тесно связаны с измерением или построением геометрических фигур.

В учебниках низкий процент заданий на «геометрию формы», но в данном учебном пособии существует «Материал для расширения и углубления знаний», где учащиеся могут познакомиться с геометрическими телами и узнать об их свойствах.

Сравнительный анализ показал, что в учебниках Н.Б. Истоминой доля заданий с геометрическими величинами колеблется от 42% до 73%. Первый блок «геометрические величины» включает в себя задания, направленные на измерение и сравнение величин, соотнесение единиц длины; вычисление периметра и площади геометрических фигур. Приведем примеры таких заданий:

. <,> или =?

м 3 дм … 5 м 4 дм 35 дм … 34 дм 5 см

дм 5 см … 35 см 63 дм … 6 м 3 см

дм 9 см … 48 дм 25 м … 78 дм

.Ответь на вопросы, пользуясь рисунком.

а) На сколько длина отрезка МЕ больше длины отрезка КО?

б) На сколько длина отрезка КО меньше длины отрезка АК?

.Начерти отрезок длиной: 1) 3 см; 2) 7 см; 3) 8 см.

На сколько нужно увеличить длину каждого отрезка, чтобы получить отрезок длиной 1 дм?

.Ломаная состоит из трех звеньев. Длина первого звена 3 см, длина второго звена-8 мм. Найди длину третьего звена, если длина ломаной 4 см.

5.Периметр прямоугольника 40 см, а сумма длин трёх его сторон равна 28 см. Чему равна площадь этого прямоугольника?

В учебниках Н.Б. Истоминой доля заданий на «геометрию формы» дает результаты, более 50 % от всех заданий учебников в 1-4 классах.

Эти задания направлены на :

—распознавание и изображение плоских геометрических фигур: точка, линия (кривая, прямая), отрезок, ломаная, угол, многоугольник, треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг;

—соотношение геометрических форм в окружающем мире;

—распознавание трехмерных геометрических фигур (куб, шар, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус);

—формирование представлений о плоской и кривой поверхностях; об объёмной и плоской геометрической фигуре.

Приведем примеры таких заданий:

.Выбери на рисунке квадраты.

школьник математика мышление геометрический

2.Назови признаки, которые изменяются в каждой следующей фигуре.

Выбери фигуры, которыми можно продолжить ряд по тому же правилу.

3.По какому признаку геометрические фигуры разложили на две группы?

.Прочитай названия геометрических тел: шар пирамида цилиндр конус куб параллелепипед призма Можешь ли ты показать каждое геометрическое тело на рисунке?

.Рассмотри детали конструктора и выбери те, у которых:

)все части поверхности плоские;

)одни части их поверхности плоские, а другие части их поверхности кривые.

.Можно ли построить окружность с центром в точке О так, чтобы она проходила через точки А, К, М, Е?

.Выбери предметы, которые по форме похожи на:

1) конус;

) шар;

) цилиндр;

) параллелепипед.

Сравнительный анализ показал, что доля заданий на «геометрию формы» в учебниках УМК «Гармония» больше в 3 раза, чем в учебниках УМК «Школа России».

В пункте 1.2. отмечалось, что для успешного развития пространственного мышления ученик должен овладеть тремя типами оперирования пространственными образами:

-й тип — преобразование пространственного положения;

-й тип — преобразование структуры образа путем различных трансформаций;

-й тип — преобразование исходного образа протекает длительно и неоднократно, с изменением структуры и положения.

Охарактеризуем задания, направленные на «геометрию формы» с точки зрения приведенных типов оперирования пространственными образами.

Таблица 3 Геометрические задания способствующие формированию пространственного мышления

УчебникиКласс1-й тип2-й тип3-й типОставшиеся заданияУМК Школа России11—42-2-23-4144-523УМК Гармония19532628547373520436412

Сравнительный анализ показывает, что в учебниках Н.Б. Истоминой заданий, способствующих развитию пространственного мышления больше, чем в учебниках М. И. Моро.

Приведем примеры заданий на «геометрию формы» из учебников Н.Б. Истоминой с точки зрения приведенных типов оперирования пространственными образами.

Первый тип оперирования пространственным образом.

.Выбери два одинаковых куба

Проверь свой ответ, используя модель куба.

.Найдите «лишний» куб.

Второй тип оперирования пространственным образом.

.Догадайся, как разбить прямоугольник на 3 одинаковых квадрата.

2.Выбери куб, который можно сделать из данной развертки.

Третий тип оперирования пространственным образом.

.Выбери пару фигур, из которых можно составить прямоугольник.

Подумай, как ты можешь проверить свой выбор.

.Какие из этих фигур могут быть разверткой куба?

Приведем примеры заданий на типы оперирования пространственным образом из учебников М.И. Моро.

1-й тип ОПО. Рассмотри таблицы. Определи правило, по которому составлена каждая из них. Заполни пустую клетку в таблице.

2-й тип ОПО: Начерти эти четырехугольники. Проведи в каждом 2 отрезка так, чтобы, разрезав по ним первый четырехугольник, можно получить 3 одинаковых треугольника, а разрезав второй − 4 треугольника.

Можно ли из фигур с номерами 1, 2, 3, 4, 5 выложить такую башню? Какой фигуры не хватает? Начерти её.

3-й тип ОПО: Переложи две палочки так, чтобы стало четыре треугольника.

Из данных нашего анализа мы можем предположить, что при увеличении количества заданий и организации деятельности по изучению геометрического материала, направленной на формирование пространственного мышления младших школьников, возможно развитие пространственного мышления.

2.2 Диагностика пространственного мышления младших школьников

Цель констатирующего эксперимента заключалась в выявлении и оценке уровня пространственного мышления у младших школьников.

Констатирующий эксперимент проводился в городе Москва в Государственном бюджетном образовательном учреждении города Москвы средней общеобразовательной школе с углубленным изучением английского языка № 1208 имени Героя Советского Союза М.С. Шумилова . В нем приняло участие 26 детей из 2 «В» класса.

При проведении констатирующего эксперимента соблюдались следующие условия:

.В исследовании участвовали дети, посещающие школу не менее года;

2.Исследование проводилось в знакомой для детей обстановке;

.Исследователь был знаком детям;

Для диагностики развития пространственного мышления нами выбраны критерии, выделенные И. С. Якиманской: успешность создания пространственного образа, адекватного графическому изображению; типы оперирования образом; широта оперирования; полнота образа (описанные в 1.1.) Работа, направленная на диагностику развития пространственного мышления, состоящая из трех заданий, расположенных в порядке возрастания уровня сложности и оцененных разным количеством баллов. Критерии оценки даны в таблице 4.

Таблица 4

Критерии оценки уровня развития пространственного мышления

Средний оценочный баллУровни развития0-2 баллаНизкий уровень3-4 баллаСредний уровень5-6 баллаВысокий уровень

Учащимся дается 3 задания на 20 минут. Максимальное количество баллов за каждое задание 2 балла.

баллов — учащийся не справился с заданием;

балл — учащийся справился с заданием с помощью педагога; 2 балла — учащийся справился с заданием самостоятельно.

Низкий уровень — ребенок затрудняется в определении, различении и назывании пространственных направлений, местоположения объектов относительно других объектов в трехмерном и двухмерном реальном пространстве; испытывает трудности при определении и назывании формы объектов и их частей; не обобщает объекты по наличию (отсутствию) пространственных признаков; не выделяет закономерности в пространственном расположении объектов; не отражает последовательность своих действий и их результаты в речи.

Средний уровень — ребенок определяет и называет форму объектов и их частей, расчленяет реальные объекты и образы на части и воссоздает их с незначительными затруднениями; обобщает объекты по признакам формы, структуры, пространственного расположения; испытывает некоторые трудности при оперировании объектами в воображаемом трехмерном и двухмерном пространстве; способен выразить словесно результат своих действий, но испытывает затруднения в отражении способов достижения результата, и в доказательстве суждений.

Высокий уровень — ребенок определяет и называет пространственные направления, отношения между объектами как в реальном, так и в воображаемом трехмерном и двухмерном пространстве; не испытывает трудностей в определении и назывании формы объектов и их частей, в расчленении объектов и воссоздании их из частей в реальном и мысленном плане, в обобщении объектов по форме и пространственному расположению; свободно выражает в речи результаты деятельности и способы их достижения, доказывает свои суждения, использует геометрическую терминологию.

Задание 1. (1 тип ОПО — изменение образа по положению в пространстве.) Посмотри, как поворачивали стрелку. Выбери ряд, в котором треугольник поворачивали так же, как стрелку.

В качестве помощи использовалась модель треугольника, которую дети могли поворачивать сами, сверяя положение треугольников с положением стрелок на рисунке.

Задание 2. (оперирование образом с изменением его структуры — 2 тип ОПО).В фигуре, состоящей из 4 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 2 неравных квадрата.

Задание 3. (оперирование образом с одновременным изменением его пространственного положения и структуры — 3 тип ОПО)

Из двух равных (одинаковых) треугольников составь разные четырехугольники.

Мы получили следующие результаты, которые занесли в таблицу 5.

Таблица 5

Результаты констатирующего эксперимента

№ п/пИ.Ф. УчащегосяЗадание 1Задание 2Задание 3Уровень развития ПМ1Михаэль А.222высокий2Александра В.120средний3Кирилл В.020низкий4Ярослав Д.222высокий5Тимофей Д.212высокий6Герман К.000низкий7Алиса К.100низкий8Алиса К.200низкий9Степан Л.220средний10Федор М.000низкий11Иван М.220средний12Тимофей П.000низкий13Петр Р.000низкий14Стефания П.222высокий15Владимир Р.110низкий16Алиса С.000низкий17Егор С.222высокий18Валентина С.121средний19Анна У.120средний20Арина Ф.220средний21Алиса Х.100низкий22Полина Х.010низкий23Софья Ш.222высокий24Анна Ш.120средний25Даниил Ш.222высокий26Никита Ш.022средний

Анализ результатов показал, что учащихся с высоким уровнем развития пространственных представлений — 7 человек, со средним- 8 человек, с низким уровнем — 11 человек.

Представим полученные результаты констатирующего эксперимента в виде диаграммы:

Рисунок 1 Сравнение результатов диагностики у учащихся 2 «В» класса

Диаграмма наглядно иллюстрирует, что большая часть учащихся имеет низкий уровень пространственного мышления, поэтому целесообразно создавать специальные условия, способствующие развитию мышления младших школьников.

2.3 Описание опытно-экспериментальной работы по формированию пространственного мышления у учащихся

Цель формирующего эксперимента — развить пространственное мышление детей, обогатить геометрические представления учащихся.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1.отобрать экспериментальную группу;

2.разработать рабочую программу;

3.организовать опытное обучение.

Класс был разделен на 2 группы, ученики с высоким и средним уровнем вошли в контрольную группу, а занятия проводились с учащимися с низким уровнем пространственного мышления. Дети обучаются по программе «Школа 2100» и учебникам по математике Л.Г. Петерсон. Опытно-экспериментальное обучение длилось с начала апреля до конца мая.

Занятия проводились 2 раза в неделю согласно рабочей программе и во внеурочное время.

Программа была составлена на основе программ, разработанных Н.Б. Истоминой, З.Б. Редько, Е.Н. Кожевниковой. Рабочая программа по развитию пространственного мышления у экспериментальной группы представлена в таблице 6.

Таблица 6 Рабочая программа

№Тема занятияЦель занятия1,2Взаимное расположение предметовУточнить представления детей о квадрате, прямоугольнике, треугольнике. Обучать конструированию этих фигур из палочек. Формировать представления об изображении видимых и невидимых частей фигур на рисунке3Форма и размер прямоугольникаПроверить представления детей о форме, размере. Формировать умение конструировать прямоугольник из фигур.4Конструирование геометрических фигурПродолжить работу, направленную на приобретение учащимися опыта конструирования геометрической фигуры из её частей5Конструирование геометрических фигурФормировать умение конструировать треугольники из двух данных фигур.6,7Конструирование геометрических фигурОбучать конструированию прямоугольника из данных фигур8Конструирование геометрических фигурПроверить умения учащихся конструировать фигуру из палочек и составлять фигуру (целое) из других (её частей).

В основу занятий были положены методические приемы, разработанные Гаркавцевой Г.Ю.:

1.Сравнение: форм реальных объектов; форм геометрических фигур реальных объектов; предметных моделей геометрических фигур (выделение их сходства и различия); сравнение графических изображений геометрических фигур, предметных моделей и их изображений;

2.Выбор: реальных объектов заданной формы; геометрической фигуры на основе представления и практической деятельности;

3.Конструирование: разных геометрических фигур при определенных условиях; предметных моделей по их изображению; геометрических фигур по представлению [7].

Приведем примеры заданий, опираясь на методические приемы:

1)Выбор реальных объектов заданной формы.

Догадайся, по какому правилу соединили рисунки. Составь другие пары по такому же правилу.

2)Сравнение предметных моделей геометрических фигур (выделениесходств и различий).

Обведи кривой замкнутой линией лишнюю фигуру.

3)Конструирование геометрических фигур при определенных условиях. От фигуры отрезали фигуру .

Выбери рисунок, на котором изображена получившаяся фигура.

4)Конструирование геометрических фигур по представлению.

Соедини линией те две фигуры, из которых можно составить треугольник.

Ниже приведены фрагменты уроков, проведенных в период опытного обучения.

Фрагмент занятия №1. Цель: уточнить представления детей о квадрате, прямоугольнике, треугольнике. Обучать конструированию этих фигур из палочек. Формировать представления об изображении видимых и невидимых частей фигур на рисунке. Детям предлагается задание на конструирование из палочек квадрата.

Учащиеся работают в парах. Пока дети конструируют квадрат из палочек, на доске появляются рисунки.

У.: Найдите среди всех геометрических фигур квадрат.

У.: Кто покажет квадрат?

(Дети выходят к доске и показывают модели. Если возникают затруднения, учащиеся объясняют свой выбор, ориентируясь на признаки фигур.)

У.: Послушайте задание. Из палочек сложили квадрат. Зачеркни по две палочки на каждом рисунке так, чтобы на нём осталось два квадрата.

У.: Сколько палочек понадобилось, чтобы сложить этот квадрат?

Д.: Восемь. Это большой квадрат. Каждая его сторона состоит из двух палочек.

У.: Есть ли различия между рисунками, которые даны в задании? Д.: Нет.

У.: Сколько квадратов вы видите на одном рисунке? Д.: Четыре.

У.: Давайте еще раз посчитаем.

Затем дети выполняют задание самостоятельно, зачеркивая на каждом рисунке две палочки.

При обсуждении полученных результатов учащиеся выходят к доске, на которой изображены фигуры, убирают две палочки (стирают их) и закрашивают маленький квадрат на каждом рисунке.

Фрагмент занятия № 3

У.: Требуется подобрать фигуру точно такого же размера и формы, как размер и форма дырки. Пронумеруем «заплатки», которые даны в задании

У.:. Соедините линией каждый коврик с его «заплаткой»

Дети самостоятельно выполняют задания, для проверки результатов работы выходят к доске и записывают результаты.

1-й коврик2-й коврик3-й коврик361275198

У.: Нельзя ли придумать какой-нибудь способ, с помощью которого мы могли бы проверить, правильно ли выбрана «заплатка»?

Учащиеся предлагают вырезать «заплатку» и наложить её на дырку.

У.: Но тогда придется разрезать листы и повредить текст заданий, записанных на обороте листа. Что вы еще сможете предложить?

Дети предлагают другие варианты. После обсуждения каждый ученик получает по листу прозрачной бумаги (кальки), накладывают его на «заплатку» и обводит границы.

Затем перемещают полученный рисунок на дырку. Если выбор сделан верно, то границы «заплатки» совпадут с границами дырки.

За период опытного обучения дети выполняли подготовленные задания как самостоятельно, так и с помощью учителя. Во время занятий проводилась индивидуальная работа, работа в парах и в группах. Дети конструировали, сравнивали и преобразовывали геометрические фигуры, познавая их свойства.

В процессе проведения занятий было замечено, что у школьников повысился интерес к урокам математики. Это проявлялось в том, что дети самостоятельно выполняли задания и активно работали на занятиях.

2.4 Контрольная диагностика уровня развития пространственного мышления младших школьников

На завершающем этапе исследования был проведен контрольный эксперимент. Его целью было выявить динамику развития пространственного мышления у учащихся.

В контрольном эксперименте участвовала как 11 человек из экспериментальной группы, так и 16 человек из контрольной группы. Диагностика проводилась в тех же условиях и оценивалась по критериям, описанным в п.2.2. Для выявления динамики развития пространственного мышления, учащимся было предложено выполнить задания, приведенные ниже:

Задание 1. (1 тип ОПО) Как ты думаешь, какой получится результат при наложении фигур последовательно друг на друга в левой части рисунка. Выбери ответ из фигур, расположенных справа.

Задание 2. (2 тип ОПО) Соедини линией те две фигуры, из которых можно составить прямоугольник.

Задание 3. (3 тип ОПО).

Переложи две палочки так, чтобы стало четыре треугольника.

Результаты, полученные в экспериментальной и контрольной группах, отражены в таблицах№ 7 и № 8 соответственно.

Таблица 7 Результаты, показанные учащимися экспериментальной группы после опытного обучения

№ п/п И.Ф. УчащегосяЗадание 1Задание 2Задание 3Уровень развития ПМ1Кирилл В.220Средний2Герман К.200Низкий3Алиса К.110Низкий4Алиса К.210Средний5Федор М.110Низкий6Тимофей П.110Низкий7Петр Р.100Низкий8Владимир Р.111Средний9Алиса С.100Низкий10Алиса Х.121Средний11Полина Х.110Низкий

Учащихся с высоким уровнем развития пространственных представлений

0 человек; со средним- 4 человека; с низким уровнем — 7 человек.

Таблица 8 Результаты показанные учащимися контрольной группы после опытного обучения

№ п/пИ.Ф. УчащегосяЗадание 1Задание 2Задание 3Уровень развития ПМ1Михаэль А.221высокий2Александра В.111средний3Ярослав Д.222высокий4Тимофей Д.122высокий5Степан Л.121средний6Иван М.212средний7Стефания П.212высокий8Егор С.222высокий9Валентина С.121средний10Анна У.120средний11Арина Ф.220средний12Софья Ш.222высокий13Анна Ш.121средний14Даниил Ш.222высокий15Никита Ш.112средний

Учащихся с высоким уровнем — 7 человек, со средним — 8 человек, с низким уровнем — 0 человек.

Сравним результаты экспериментальной и контрольной группы.

Рисунок 2. Сравнение результатов экспериментальной и контрольной группы

Сравним результаты экспериментальной группы до начала и в конце обучения, в диаграмме.

Рисунок 3. Сравнение результатов экспериментальной группы

Анализируя полученные показатели, было установлено, что дети, для которых ранее был характерен низкий уровень развития пространственного мышления, теперь продемонстрировали умение решать задания на 1-й и 2-й тип оперирования пространственным образом. Как видно на диаграмме, обучающий эксперимент оказал положительное воздействие на развитие младших школьников. У детей, которые не принимали участие в опытном обучении, уровень пространственного мышления остался неизменен. Но в некоторых заданиях они испытывали затруднения и просили помощи.

Подводя итог проделанной работы можно сказать, что составленная нами рабочая программа, подобранные задания и методические приемы способствовали развитию пространственного мышления младших школьников. Об этом свидетельствуют результаты диагностики, в том числе, показатели, обнаруженные у учащихся с низким уровнем развития пространственного мышления в процессе их диагностики до и после проведения занятий.

Заключение

На основе анализа психолого-педагогической литературы была выявлена специфика пространственного мышления как вида умственной деятельности, направленной на решение задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображаемом), а так же основные особенности развития пространственного мышления. Основным направлением при формировании пространственного мышления в процессе обучения является обучение созданию образов и оперированию ими,

Анализ историко-педагогической и методической литературы позволил выявить основные направления становления и развития начального геометрического образования и выделить те из них, которые актуальны на современном этапе.

В настоящее время, в период модернизации школьного образования, возрождается интерес к вопросам изучения элементов геометрии в начальной школе. Вопрос о подготовке учащихся к изучению систематического курса геометрии стал активно решаться в педагогической науке и школьной практике. Появляются пособия в виде тетрадей с печатной основой с геометрическими заданиями для младших школьников.

Во второй главе нашего исследования, мы провели анализ содержания геометрического материала в начальной школе с точки зрения возможности формирования пространственного мышления, который показал, что в современных учебниках математики недостаточно заданий, способствующих развитию пространственного мышления.

Опираясь на типы оперирования пространственным образом, выделенные Якиманской И.С., нами были отобраны развивающие задания. Задания были использованы в опытном обучении. На основе программ, разработанных Н.Б. Истоминой, З.Б. Редько, Е.Н. Кожевниковой была составлена рабочая программа для развития пространственного мышления у учащихся второго класса. При организации занятий мы опирались на методические приемы, разработанные Гаркавцевой Г.Ю.: приемы сравнения (форм реальных объектов; форм геометрических фигур и реальных объектов; предметных моделей геометрических фигур; графических изображений геометрических фигур; предметных моделей и их изображений); приемы выбора (реальных объектов заданной формы; геометрической фигуры на основе представления и практической деятельности); приемы конструирования (геометрических фигур при определенных условиях; предметных моделей по их изображению; геометрических фигур по представлению).

Экспериментальная проверка эффективности разработанной программы показала, что проделанная работа позволила улучшить показатели уровня развития пространственного мышления учащихся.

Полученные в процессе эксперимента данные подтверждают гипотезу о том, что изучение геометрического материала в начальных классах эффективно влияет на развитие пространственного мышления учащихся, если его содержание представлено в виде системы заданий, в процессе выполнения которых учащиеся оперируют пространственными образами. Хотелось бы отметить, что если продолжать работу по развитию пространственного мышления, результат будет более высоким, так как в данной работе мы увидели положительную динамику, несмотря на короткие сроки опытного обучения.

Таким образом, все поставленные нами задачи решены. Цель достигнута. Гипотеза подтвердилась.

Список литературы

1.Авдеева, Т.К. Классики педагогического образования в системе профессиональной подготовки учителя математики: Монография / Т.К. Авдеева Орел: ОАО «Типография «Труд», 2004. 392 с.

2.Актуальные проблемы возрастной психологии / под ред. А.В. Запорожца, П.Я. Гальперина и др. М., 1978. 118 с.

3.Асмолов А.Г. Развивающий потенциал стандартов общего образования — универсальные учебные действия / А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская, О.А. Карабанова, С.В. Молчанов, Н.Г. Салмина // Психология и современное российское образование. Материалы IV Всероссийского съезда психологов образования России. Направление III, IV. М.: ФПОР, 2008. С. 264-266.

4.Болгарский, Б.В. Очерки по истории математики/ Б.В. Болгарский — 2-е изд., испр. и доп. — Мн.: Выш. школа, 1979. 368 с.

5.Волкова С.И., Пчелкина O.JI. Альбом по математике и конструированию для 1 класса четырехлетней начальной школы. М.: Просвещение, 1993. 32с.

6.Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М.: Изд-во Моск.ун-та,, 1985. 45 с.

7.Гаркавцева Г.Ю Геометрическая подготовка учащихся 1-4 классов в курсе «Наглядная геометрия». Дисс. на соиск. уч.ст.канд.пед.наук./ Г.Ю. Гаркавцева. — М.,2009. 154 с.

8.Голованова, Н.Ф. Социализация младшего школьника как педагогическая проблема. СПб.: Специальная литература, 1997. 192 с.

9.Гушель, Р.З. Из истории математики и математического образования: Путеводитель по литературе/ Р.З. Гушель Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1999. 287 с.

10.Данилова О.И., Гетманова Е.В. Особенности развития универсальных учебных действий у учащихся начальной школы. /Актуальные вопросы психологии.//Материалы Международной научно-практической конференции. 16 января 2012г. — Краснодар, 2012г. 300 с.

11.Знаменская Е.В. Формирование пространственных представлений у младших школьников при изучении геометрического материала. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. канд. пед. наук. М., 1995. 16 с.

12.Истомина Н.Б Наглядная геометрия: Тетрадь по математике. 2 класс. М: Линка — Пресс, 2015. 48 с.

13.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 1 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 1 / Н.Б. Истомина — 15- е изд. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 112 с.

14.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 1 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 2 / Н.Б. Истомина — 15- е изд. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 112 с.

15.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 2 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 1 / Н.Б. Истомина — 13- е изд. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 120 с.

16.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 2 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 2 / Н.Б. Истомина — 13-е изд. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 120 с.

17.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 3 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 1 / Н.Б. Истомина — 11-е изд. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 120 с.

18.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 3 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 2 / Н.Б. Истомина — 11-е изд., перераб. и доп. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 120 с.

19.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 4 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 1 / Н.Б. Истомина — 12-е изд., перераб. и доп. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 120 с.

20.Истомина Н.Б. Математика: учебник для 4 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 2 / Н.Б. Истомина — 12-е изд., перераб. и доп. — Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 120 с.

22.Кабанова-Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. Проблема приемов умственной деятельности / Е.Н.Кабанова-Меллер. — М.: Изд. АПН РСФСР, 1962. 146 с.

23.Каплунович И.Я. Психологические закономерности развития пространственного мышления // Вопросы психологии. 1999. №1 Портал психологических изданий PsyJournals.ru — #»justify»>24.Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе: Пособие для учителей. — М., Учпедгиз, 1955. 212 с.

25.Колягин, Ю.М. Школьный учебник математики: в прошлом и настоящем / Ю.М. Колягин // Математика в школе. 2003. — №2. — С.72-76

26.Кочеткова И.А. Развитие пространственного мышления школьников при изучении геометрического материала в курсе математики начальных классов. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. пед. наук. М., 1997. 189 с.

27.Кулишер А.Р. Начальный (пропедевтический) курс геометрии в начальной школе. Его цели и осуществление / И.А. Кулишер // Труды 1 Всероссийского съезда преподавателей математики. — т.1, СПб, 1911 — 1912, С. 376 — 411.

28.Леонтьев А.Н. Деятельность, сознание, личность. М., 1975. 304с.

29.Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.).

— 6-е изд. — М.: Просвещение, 2015. 96 с.

30.Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 2 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.).

— 6-е изд. — М.: Просвещение, 2015. 112 с.

31.Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.).

— 5-е изд. — М.: Просвещение, 2015. 112 с.

32.Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 2 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.).

— 5-е изд. — М.: Просвещение, 2015. 112 с.

33.Математика. 4 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.).

— 4-е изд. — М.: Просвещение, 2015. 112 с.

34.Математика. 4 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 2 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.).

— 4-е изд. — М.: Просвещение, 2015. — 128 с.

35.Математика. Рабочие программы. Предметная линия М34 учебников системы «Школа России». 1-4 классы : учеб. пособие для общеобразоват. организаций / [М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова и др.]. — 2-е изд. перераб. — М. : Просвещение, 2016. 124 с.

36.Математика: программа 1-4 классы. Поурочно-тематическое планирование: 1-4 классы / Н. Б. Истомина. — Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2013. — 160 с.

37.Методические рекомендации к тетрадям Наглядная геометрия для 1-4-го классов : 1 кл. / Н.Б. Истомина, З.Б. Редько- М: Издательство Линка- Пресс, 2014-64 с., ил.

38.Мещеряков Б. Г., Зинченко В. П. Большой психологический словарь. СПб.: Прайм Еврознак, 2009. 813 с.

39.Моро М.И. Математика. 1 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2015. 128 с.

40.Моро М.И. Математика. 1 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 2 / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. — 6-е изд. -М.: Просвещение, 2015. — 112 с.

41.Подходова Н.С. Формирование пространственных представлений младших школьников при изучении геометрического материала. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. пед. наук. СПб., 1992. — 234 с.

42.Подходова Н.С., Горбачев М.В., Мистонов А.А. Волшебная страна фигур: Пособие по развитию пространственного мышления (в пяти путешествиях).

СПб.: Питер, 2000.

43.Покровская Т. А. Формирование у младших школьников представлений о геометрических фигурах на основе принципа фузионизма. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. пед. наук. М., 2003. 138 с.

44.Полякова, Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. II: Век девятнадцатый. Первая половина / Т.С. Полякова. Ростов н/Д: Изд-во Рост. пед. ун-та, 2001. 208с.

45.Постановление Правительства РФ от 15 апреля 2014 г. N 295 «Об утверждении государственной программы Российской Федерации «Развитие образования» на 2013 — 2020 годы» (с изменениями и дополнениями).

46.Пышкало А.М. Методика обучения элементам геометрии в начальных классах / А.М. Пышкало. М.: Просвещение, 1973. 208с.

47.Распоряжение Правительства РФ от 24 декабря 2013 г. N 2506-р О Концепции развития математического образования в РФ.

48.Рубинштейн С.Л. Очередные задачи психологического исследования мышления /С.Л. Рубинштейн // Исследования мышления в советской психологии. М., 1966. С.225 — 235

49.Седова Н. Е. Основы практической педагогики: Учеб. пособие для студентов вузов: допущено УМО по проф. — пед. образованию/ Н. Е. Седова. М.: Сфера, 2008. 192 с.

50.Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: учебник для студентов средних учебных заведений / Н.Ф. Талызина. — 4-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. 288 с.

51.Тарасова, О.В. Становление и развитие геометрического образования в дореволюционной средней школе России. /Автореферат дис. д.п.н., 2006г.

52.Указ Президента РФ от 1 июня 2012 г. N 761 «О Национальной стратегии действий в интересах детей на 2012 — 2017 годы».

53.Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования(1 — 4 кл.) (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 6 октября 2009 г. N 373 с изменениями и дополнениями от 18 мая 2015).

54.Формирование приемов математического мышления./Под редакцией Н.Ф.Талызиной. М., ТОО «Вентана — Граф» 1995. 231с.

55.Цветкова Л.С. Мозг и интеллект. Нарушение и восстановление интеллектуальной деятельности. М: Просвещение, Учебная литература, 1995. 304 с.

56.Шадрина И.В. Геометрия в начальной школе: Учебник-тетрадь. 1 класс. М.: АСТ-ПРЕСС. 2006. 48 с.

57.Якиманская И.С. Психологические основы математического образования: учеб. пособие для студентов пед. вузов / И.С. Якиманская. М.: Изд. центр «Академия». 2004. 320с.

58.Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления младших школьников. М.: Педагогика. 1980. 240 с.