Нечеткие понятия и расплывчатые алгоритмы

метки: Множество, Функция, Расплывчатый, Число, Алгоритм, Значение, Нечеткий, Понятие

Приведем начало статьи Л. А. Заде [1966], в которой весьма четко охарактеризована суть предлагаемого подхода. «В теории информации, как во многих других областях науки, неточность и неопределенность обычно вводятся с помощью понятий и методов теории вероятностей. Подчеркивание роли теорий вероятностей при изучении этих вопросов затемняет то, что во многих ситуациях источником неточности является вовсе не наличие каких-то случайных величин, а появление в рассматриваемой задаче какого-то класса или классов, не имеющих строго определенных границ. В качестве примера класса такого рода можно привести «класс» всех действительных чисел, намного превосходящих 10, который, очевидно, не является точно заданным множеством. То же самое можно

222

сказать о «Классе» рукописных изображений буквы А, «классе» умных людей, «классе» систем, приблизительно эквивалентных некоторой заданной системе и т. д. На самом деле, тщательный анализ показывает, что большинство классов объектов, с которыми приходится сталкиваться в реальном мире, являются классами именно такого нечеткого типа, т. е. классами, которые определены неточно. В этих случаях элемент может принадлежать или не принадлежать классу, но, кроме того, возможными являются также и промежуточные градации принадлежности; поэтому для описания степени принадлежности элемента классу здесь необходимо использовать многозначную логику — возможно даже с континуальным множеством значений истинности» [Заде Л. А., 1966, с. 37].

Теория алгоритмов, основанная па понятии «расплывчатого множества», естественным образом обнаруживает свою перспективность для уяснения логической природы многих рассматриваемых и применяемых в эмпирических науках, в приложениях кибернетики, в психологии и педагогике недетерминистских предписаний, так как «расплывчатый алгоритм» представляет собой, по-видимому, крайнюю — с точки зрения «неалгоритмичности» — форму тех градаций алгоритмичности, на противоположном полюсе которой находятся абсолютные детерминистские алгоритмы.

Свою концепцию «расплывчатого алгоритма» Л. Заде рассматривает как попытку указать возможный путь для полноправного введения в научный обиход некоторых типов неоднозначных предписаний. Эти предписания он формализует с помощью понятия расплывчатого алгоритма, покоящегося, в свою очередь, на развитой автором концепции расплывчатых множеств.

Л. А. Заде оперирует следующими примерами расплывчатых предписаний: (б) «Положить у приблизительно равным 10, если х приблизительно равно 5»; (в) «Если х велико, увеличить у на несколько единиц’, если х мало, уменьшить у на несколько единиц;

Зан 1.3.3 Движ Пр Врем Зад 1

... м, а какое - наименьший? Объём понятия – это тот класс предметов, который охватывается данным понятием. Например, объём понятия «стул» ... борьба» ? Свой ответ обоснуйте. Зан 1.1.2 Функции Направления Зад 3 Позитивистский и натурфилософский подходы неверно решают вопрос о ... он обосновывал необходимость такого единства? Зан 1.2.5. Русская Зад 2 После убийства царя Александра 1 народовольцами массы людей ...

в противном случае оставить у без изменения».

В этих предписаниях источник неоднозначности заключен в неопределенности, расплывчатости множеств (являющихся «подмножествами» множества Л действительных чисел) чисел, «приблизительно равных 10», «приблизительно равных о», «больших» и «маленьких» чисел, множества из «нескольких единиц». Чтобы как-то устранить связанную с ними неоднозначность, Заде предлагает использовать некий вариант многозначной (в общем случае — бесконечнозначной) логики. Основным понятием здесь является понятие о функции членства, с помощью которой задается расплывчатое множество. Функция членства определена на элементах некоторой совокупности и служит для выделения в ней соответствующего нечеткого класса путем отнесения каждому из элементов некоторого числа из интервала [0, I], характеризующего «степень принадлежности элемента совокупности задаваемому нечеткому классу». Чем ближе значение функции членства к единице, тем больше степень принадлежности элемента

223

к рассматриваемому нечеткому классу; наоборот, чем меньше это значение, тем меньше степень принадлежности.

Пусть, например, Араспл — нечеткое множество «чисел, приблизительно равных 5» (выделяемых из области всех действительных чисел).

Заметим сразу же—и будем этого в дальнейшем придерживаться,— что вместо нечеткого множества можно (что не менее естественно) говорить о нечетком свойстве (нечетком понятии о свойстве, или о понятии о нечетком свойстве) и, более общее, о нечетких предикатах (свойствах и отношениях).

Если Араспл — нечеткий класс, то ему соответствует нечеткий предикат Араспп (ж) ^в. Обозначив, вслед за Заде, функцию членства через ц, мы будем иметь (») цА распл (ж) ^а-еА распл,

о/ причем выражение жеА распл является выражением многозначной

либо бесконечнозначной логики — выражением, принимающим какие-то значения из интервала [0,1] рациональных или действительных чисел или же все значения из этого интервала. Если бы эти значения были только значениями 0 («ложь») и 1 («истина»), то наш предикат (множество), обратился бы в обычный предикат (обычное «жесткое» множество),—предикат двузначной логики.

В записи (*) предполагалось, что Араспл — расплывчатое множество (и, соответственно, Араспл (ж) — расплывчатый одноместный предикат).

Однако этого можно и не предполагать, записывая \лА (х) =х<=А и предполагая, что А может быть как нечетким, так и четким множеством (соответственно, А (х) — как двузначным, принимающим значения из множества {0, 1}, так и многозначным или бесконечнозначным — допускающим какие-то либо все значения от 0 до 1 — предикатом).

Каким на самом деле является А — это определяется видом функции (а, которая должна быть задана. По функции ц видно, с каким предикатом (множеством) мы имеем дело—подчиняющимся обычной («жесткой», двузначной) логике или требующим многозначной или бесконечнозначной («расплывчатой») логики.

Заде сформулировал основные понятия теории нечетких множеств, определив, в частности, отношения равенства и включения двух нечетких множеств, а также операции дополнения нечеткого множества, объединения и пересечения двух нечетких множеств. Например, операция объединения множества Араспя и Драспл определяется как порождение такого множества (А Ц5) распл, которое является минимальным среди всех расплывчатых множеств, содержащих в себе как Араспл, так и 5распл. Это определение — обобщение известного определения операции объединения обыч-

Логика развития лагерной смены 2

Постарайтесь в своей работе ориентироваться именно на таких ребят. Если для них за три дня лагерь станет привычным и приятным, то для тех, кто не испытывает проблем с адаптацией, он тем более превратится в "дом родной". Задачи орг.периода: 1.Знакомство детей друг с другом, со взрослыми и с условиями проживания; 2.Адаптация в коллективе, обеспечение детям чувства защищенности, самостоятельности; ...

^в Нечеткое множество (нечеткий класс) можно назвать объемом нечеткого понятия. В каком смысле данное понятие является обобщением понятия объема «жесткого» одноместного предиката — это зависит от того, как производится уточнение логики, связываемой с нечеткими множествами.

224

ных классов как взятия их точной верхней грани: функция членства множества (А и5) распл имеет вид: [л(А^В) (а;)=шах[иА(а;), [лВ(х) } (мы опустили обозначение «распл» при А и В). Например, если р,А (ж) и \лВ (х) принимают для некоторого х значения, соответственно, 0,5 и 0,7, то р,(Аи5) (х) примет для этого х значение 0,7.

Аналогично, операция пересечения двух нечетких множеств определяется как взятие их точной нижней грани. Дополнение Араспл к нечеткому множеству Араспл определяется как такое множество, функция принадлежности к которому цА^аспл ==

⁼⁼!1^-А распл \Х) •

Эти определения, а также определение включения одного расплывчатого множества в другое (А<=В тогда, и только тогда, когда для любого х ^А(а:)^ц5(а;), где Л (ж), В (х) —нечеткие предикаты с объемами, соответственно, А и 5), определяют характер логики расплывчатых понятий. Эту логику можно, впрочем, уточнять по-разному. Можно, вслед за Заде (2ас1еп Ь. А., 1965, р. 342) исходить из той идеи, что для любого расплывчатого класса А естественно различать ситуации, когда имеет силу высказывание х^А («ж принадлежит А»), когда имеет силу высказывание хфа («х не принадлежит А») и когда не имеет силы ни то, ни другое высказывание. Тогда можно принять, что: ж^А, если \лА(х)^а (случай г); х<^А, если цА (ж)^ (случай и); и отношение х к А не определено, если ^<[лА{х) и {лА{х)<а (здесь а и ^ — действительные числа; 0<а<1; 0<^<1; ^<а) (случай Ш).

Этим определениям соответствует известная трехзначная логика Я. Лукасевича [1920]—исторически первая система многозначной логики, в которой кроме «истины» (1) и «лжи» (0) в качестве истинностного значения использовалась «неопределенность» (Уз).

(Сам Заде ссылается не на Лукасевича, а на С. К. Клини — на трехзначную логику, использованную этим автором в работе 1938 г.; эта логика изложена также в книге [С. К. Клини, 1957]; как известно, однако, она совпадает с логикой Лукасевича).

А именно, можно принять, что высказывание вида х^=А распл принимает значение «истина», если для него имеет место случай I, «ложь» — если случай и, «неопределенность»,— если случай Ш, считая, как обычно, выделенным значением истинность. Впрочем, в роли логики высказываний, кладущейся в основу логики расплывчатых понятий, можно использовать и другие пропозициональные построения, в частности, в бесконечнозначной логике. Последнее решение более соответствует духу концепции расплывчатого множества. Подходить здесь можно по-разному. Так, в качестве значений истинности можно взять все действительные числа от 0 до 1, за исключением числа Уг; выделенными значениями считать числа, большие, чем Уг; операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определить, в соответствии с теорией нечетких классов Заде, как: асёй=т№(а, Ь), а\/Ь=тах(а, Ь), «»^^—^(здесь а, Ь — произвольные высказывания, представленные своими истинностными значениями).

Введение в формальную логику

... доказывать свои тезисы, у него есть логика, кособокая, но логика. Сумасшедшего же логика не интересует, по принципу бузины в ... деятельности, осуществляемой с помощью языка. [Бочаров, Маркин 1994] Логика – наука, изучающая с формальной точки зрения понятия, методы ... таковые в себе и чистосердечно признается, получит «автомат» по логике…J Пояснения, определения и примеры Среди простейших – с одним ...

Нетрудно показать, что в этом случае мы получим бесконечнозначную логику, правила которой полностью повторяют правила классической двузначной логики (если строить последнюю, скажем, как исчисление естественного вывода).

Последнее обстоятельство весьма примечательно. Получается, что правила обращения с нечеткими понятиями могут быть такими же, как и с четкими. В этом, по-видимому, следует видеть объяснение того, что в логике не было потребности особо исследовать нечеткие понятия; задача их изучения пришла из кибернетики,— и это несмотря на то, что в логике был фактически разработан потребный для этого аппарат.

В самом деле, с логической точки зрения исходный пункт теории Заде вряд ли можно считать вносящими принципиально новое. Во всяком случае, его теория расплывчатых классов может быть погружена в булеву алгебру. В известном руководстве П. С. Новикова по математической логике [Новиков П. С., 1959, с. 47] мы находим интерпретацию булевой алгебры, весьма напоминающую построение Заде.

Вообще, в теории многозначных и бесконечнозначных логик как логик со значениями в топологическом пространстве [см.: Кейслер Г. Дж, Чан Чень-чунь, 1971] мы находим богатый арсенал логических средств выражения «расплывчатости» и «неопределенности». В чем же тогда интерес построения Заде? В том, что в нем «логика расплывчатости» была поставлена в четкую связь с проблемой абстракции и с теорией алгоритмов. Последнее обстоятельство нас здесь и интересует.

Вернемся к примерам расплывчатых предписаний, которыми оперирует Заде. С логической точки зрения они не являются ни высказываниями, ни формами высказываний. Это — повелительные предложения, точнее, формы повелительных предложений⁷.

Рассмотрим предложение (б).

В нем фигурируют два расплывчатых множества: множество «чисел, приблизительно равных 5» (4°распл), и множество «чисел, приблизительно равных 10» (5°распл).

Предложение это можно представить в виде: (б’) «Если д’^Л°распл, то надлежит выбрать объект у<=Д°распл». Каждое применение этого предписания порождает пару значений (ж, у>. Множество всех таких пар (в нашем случае бесконечное) можно отождествить с некоторым бинарным отношением С°(х, у), определенным на прямом произведении ЛХН; множество это — расплывчатое (С°распл) и как таковое характеризуется уже двуместной функцией членства \иС° (ж, у):

^С°(х,у)=<х,у>еС\^

⁷ Здесь «форма повелительного предложения» рассматривается по аналогии с хорошо известным в логике понятием «формы высказывания».

Особенности учебной работы на лекциях техника конспектирования, ...

... этого дальнейшее понимание лекции затрудняется. Слышание на лекции фактически является лишь первым шагом в процессе осмысленного слушания, который включает в себя несколько этапов, начиная от ...

где (ж, г/^С^распл есть выражение многозначной или беско-нечнозначной логики. Множества А°распл и 5°расдл, являющиеся проекциями множества С°распя на, соответственно, оси х и у (рис. 2а), Заде называет «тенРасплывчатость предписания (б) явственно обнаруживается при сравнении его со схоодержанию предписанием (а), сделанным в недетерминистской форме: «Если же [4,9;

5,1], то положить у равным какому-нибудь числу из интервала [9,9; 10,1]». Здесь нахождение х в интервале [4,9; 5,1] и выбор у из интервала [9,9; 10,1] никак не оцениваются. Оба интервала (назовем их, соответственно, А° и 5°) — обычные множества, являющиеся проекциями своего прямого произведения С° на оси х и у соответственно (рис. 26) ⁸. Еще более проста подобная «картинка» (см. рис. 2в) в случае детерминистского предписания:

«Положить у равным 10, если х равно 5».

Мы очертили только главные контуры теории расплывчатых множеств и алгоритмов. Но и сказанного достаточно для заключе-

⁸ Множество С° — множество пар <ж, у), возникающих в результате всех возможных недетерминистских выборов у для каждого х при применении данного предписания.

ния, что строгость теории нечетких алгоритмов находится на уровне строгости хорошо известных «классических» теорий (детерминистских) алгоритмов. Уже в статье 1965 г. [2ааеЬ Ь. А., 1965] Заде показал, что концепция расплывчатых алгоритмов может быть естественным образом сформулирована в терминах «расплывчатой машины Тьюринга» (показан принципиальный путь перехода от обычной машины Тьюринга к «недетерминистской машине Тьюринга» и от нее к «расплывчатой машине Тьюринга»), Развивая идеи Заде, Е. Сантос детально рассмотрел как нечеткие машины Тьюринга, так и нечеткие нормальные алгорифмы и показал, что эти два определения нечетких алгоритмов эквиваленты в некотором смысле [8ап1о8 Е. 8., 1970].

Формализация нечетких предписаний и «человеческий фактор»

Обратимся теперь к некоторым психолого-гносеологическим аспектам того, каким образом понятие нечеткого множества служит для формализации расплывчатых предписаний.

Связь построения Заде с «человеческим фактором» можно видеть в попытке исключения, в определенном смысле, неконструктивности, свойственной расплывчатым предписаниям. Исключение это начинается с того, что под интуицию «степени принадлежности» объекта данному расплывчатому классу подводится база строгой теории. На «функцию членства» в нечетком множестве можно смотреть как на формализацию распознавания объектов человеком с разной степенью уверенности: функция \лА (ж) — это, в субъективном плане, «мера уверенности» в том, что х^А, оцениваемая субъектом «степень добротности» членства х^А. На место «жесткого» распознавания — различения или отождествления — объектов (как это имеет место в случае конструктивных объектов — предметов, свойств и отношений) ставится распознавание элементов как членов множеств, сущностей, так сказать, частично конструктивных. Аналогично, смысл функции вида цС (ж, у) —т. е. <х, у><=Сраспл (см. пример такой функции на с. 272—273) — можно видеть в оценке «меры уверенности» или «меры надежности» действия по нечеткому предписанию. Эта мера зависит от «меры надежности», с которой х рассматривается в качестве члена Драспл, и от «меры надежности» выбора элемента у таз множества -Враспл: [аС(х, у)—это средство количественной характеристики «степени детермйнистичности» расплывчатого предписания

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УЧЕБНО-ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

... предложения: почаще использовать игровые формы проведения уроков и внеклассных мероприятий.   АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УЧЕБНО-ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ЗАДАЧ   1. Внимательно прочитайте обобщенную формулировку задачи и ... случае наблюдаемые особенности фиксируются без указания фамилии того, в чьем поведении они были замечены). Такие результаты помогут обозначить наиболее проблемные составляющие социально ...

Как, однако, можно представить себе применение «расплывчатых алгоритмов» в реальных актах поведения? Здесь требуется дальнейшее развитие теории. Ведь само по себе задание количественной характеристики расплывчатого предписания — через указание функции (функций) принадлежности к соответствующему нечеткому множеству (множествам) еше не проливает свет

228

на то, как надлежит выполнять данное предписание (как, тем более, неясным является и, в определенном смысле, крайний частный случай расплывчатого предписания — недетерминистское предписание типа «Выбрать‘ х из множества Л»), Анализируя эту ситуацию, Заде рассматривает в качестве примера нечеткое предписание (г) «Продвинуться вперед на несколько шагов (и остановиться)». Пусть функция принадлежности для множества В° («несколько шагов») задается следующей таблицей (табл. 1, столбцы 1, 2).

Таблица 1

К какому способу действия, спрашивает Заде, было бы разумно прибегнуть, получив предписание (г) ? Отвечая на этот вопрос, он рассматривает два способа «интуитивно приемлемых» вариантов поведения. Первый способ можно назвать в определенном смысле вероятностным: число шагов выбирается в соответствии с распределением вероятностей, как-то зависящим от функции членства р,2)°(ж).

Второй способ—«пороговый», основанный на введении (как-то связанного с функцией ц) порога членства в данном нечетком множестве.

Рассмотрим более подробно первый способ. Самым простым здесь будет случай, когда вероятности выбора субъектом числа тоагов пропорциональны значениям функции (-1.

Обозначим вероятность того, что х шагов получат право именоваться «несколькими шагами», через р(х). Поскольку сумма значений, которые может принимать функция [10°(х);

9

3 [10°(а;г) = 0,8+1+1+1+0,7=4,5 (здесь случаи, когда число г=з

шагов ж^З и ^9, во внимание не принимаются, так как оценка принадлежности их к Д°распл равна 0), мы получаем:

229

^—й-

Прежде чем пояснять применение этих выкладок к анализу возможного поведения субъекта, которому дано расплывчатое предписание (г), заметим, что поведение, определяемое такого рода нечеткими предписаниями, оказывается связанным с принятиями решений в ситуациях выбора. В этом плане — в плане принятия решения — между различными типами алгоритмов, рассматриваемыми в этой статье, пролегает четкая грань.

В случае поведения, регулируемого детерминистским алгоритмом («абсолютным» алгоритмом или алгоритмом сводимости, все равно) ситуации выбора не существует: поведение полностью определено во всех деталях. В случае недетерминистских алгоритмов ситуации выбора существуют, но нет правил выбора решения. Для «алгоритмического поведения» же, регулируемого расплывчатыми алгоритмами, не только существуют ситуации выбора, но могут быть указаны правила принятия решения в таких ситуациях. С этой точки зрения такое «алгоритмическое поведение» обнаруживает черты сходства с поведением эвристическим.

1.Биологические, социальные и психологические механизмы отклоняющегося ...

... последствий, которые влечет за собой большинство отклонений от нормы. Девиантное поведение - это такое поведение, которое не является нарушением уголовного законодательства, то есть не ... предусмотренную трудовым законодательством. Особую общественную опасность представляет такой вид делинквентного поведения, как преступление. Преступлениями являются только те общественно опасные деяния, которые ...

Это и неудивительно. Расплывчатые алгоритмы так и были задуманы, чтобы стать достаточно гибкой схемой, способной охватить многие задачи. В статье Л. Заде [1965] отмечается, что представление об алгоритме как о жестко предписанной схеме действий, построенной из однозначно понимаемых правил, закрывает путь к формализации многих, а возможно и большинства сколько-нибудь сложных задач. Нельзя алгоритмически описать процессы такого рода, как лечение больных или выбор места для стоянки автомобиля, хотя человек в общем справляется с такого рода задачами. Даже тогда, когда задача в принципе имеет алгоритмическое решение (например, игра в шахматы), современных вычислительных средств нередко совершенно не достаточно для разработки и реализации соответствующего алгоритма. С другой стороны, на неформальном уровне для таких задач имеются развитые и работоспособные системы действий, которые обычно оказываются достаточно эффективными.

Такие обобщения (или ослабления) «классического» понятия алгоритма, как недетерминистские и вероятностные алгоритмы, не годятся для того, чтобы охватить многие реальные задачи. Расплывчатые алгоритмы, по-видимому, лучше для этого приспособлены. Это связано с тем, что в данном случае к «типично алгоритмической» схеме действий присоединяются акты принятия решения, для которых имеются определенные правила (здесь «правило» употреблено в самом общем смысле этого термина).

В самом деле, без ограничения общности можно считать, что всякий алгоритм включает в себя команды двух родов: проверку логических условий (т. е. приказания об ответе на альтернативные вопросы, в зависимости от которых определяется следующий шаг алгоритма) и указания о выполнении определенных действий. Часто, правда, эти два элемента настолько слиты в предписании, что требуется специальный анализ для их разделения. Так, в частности, обстоит дело с расплывчатым предписанием (г).

В ряде алгоритмических схем, служащих для точного определения понятия абсолютного алгоритма (например, в нормальных алгоритмах А. А. Маркова), акты проверок логических условий явно не фиксируются — не выражаются в записи алгоритма,— хотя, конечно, присутствуют в алгоритме [Смирнов В. А., 1963 ].

Прием анализа алгоритмов в терминах логических условий и указаний о выполнении определенных действий (операторов) может быть применен и в случае расплывчатых алгоритмов. Нечеткое предписание (г) тогда можно представить схемой, показанной на рис. За. Блок-схема этого предписания как нечеткого алгоритма (назовем его А1распл) показывает, что после придания х определенного значения (блок 0 засылки исходных данных) это значение поступает на проверку в блок 1; этот блок проверяет; расплывчатое логическое условие «Составляет ли х несколько шагов?»; блок 2 содержит команду «Продвинуться на ж шагов»; блок 3—блок остановки (выдачи результата) ;• в случае отрицательного ответа на вопрос, хранящийся в блоке 1, поведение не определено (на схеме обозначено знаком вопроса).

Очевидно, что эта блок-схема непосредственно не отражает расплывчатости данного алгоритма,— последняя заключена в «содержании» блока 1. Именно с ним связана ситуация (акт) принятия решения. Говоря детальнее, мы имеем здесь следующее.

Функции управления и принятие управленческих решений в ресторане

... автоматизированное производство. 1. Функции управления управленческое решение менеджер обслуживание Рассмотрим методы управления персоналом на примере ресторана «Starlite Diner». Сначала введем понятие ресторан. Ресторан ... И отечественная и зарубежная экономическая литература большое внимание уделяет таким понятиям, как «управление», «планирование» и т.д. Сначала возникновения, теория управления ...

Зафиксируем «исполнительное устройство» алгоритмов У. Тогда естественно считать, что для него определена функция \л0°(х). Пусть таким определением является табл. 4, столб-

231

цы 1, 2. В соответствии с рассматриваемым нами первым способом поведения мы имеем дело с поведением, определяемым вероятностью отнесения данного числа шагов к категории «несколько шагов». Это означает, что если устройство У осуществит достаточно большую серию актов поведения, предписываемых алгоритмом А!¹‘»»», то: 4 шага оно сделает с частотой 0,8/4,5;

5, 6 и 7 шагов — с частотами по 1/4,5; а 8 шагов — с частотой 0,7/4,5. Поведение такого устройства можно охарактеризовать, сказав, что числа шагов, равные О, 4, 5, 6, 7, 8, ^9, оно делает с вероятностями (частотами), приблизительно равными соответственно: 0; 0,178; 0,222; 0,222; 0,222; 0,156; 0. Вообще, для случая конечного числа положительных значений функции р,, если иА(;г,)=^ (где г=1,…,га; п есть число отличных от нуля значений, которые принимает функция членства, а 1< —• значение этой функции для г-го значения х), то решение

о выборе некоторого ж; принимается с вероятностью «-‘ где

1-1^- .

1==!

Это можно изобразить схемой, представленной на рис. 36. На ней шагу, ведущему от блока, содержащего логическое условие 1, к «блоку действия» 2, приписан вес—зависящая от х ненулевая вероятность р(,х)=^ осуществления этого шага; можно считать, что в этой вероятности и заключено правило принятия решения. Конечно, подобная ситуация принятия решения может встречаться в расплывчатых алгоритмах не один раз.

Обратим теперь внимание на то, что ситуация принятия решения при применении алгоритма А!¹«»»»¹ рассматривалась нами для фиксированного исполнительного устройства У. Существенным моментом этой фиксации является задание функции ц. Ибо естественно считать, что для двух различных исполнительных устройств функция ц, связанная с «одним и тем же» расплывчатым понятием вообще говоря, будет различной».

Рассмотрим теперь второй — пороговый — способ действия по расплывчатым алгоритмам. Он предполагает, что в исполнительном устройстве для каждой данной функции ц имеется порог членства. Точнее это означает следующее. Пусть Арасил — некоторое нечеткое множество, характеризуемое функцией и,А (х); значение рА (ж) ==а называется порогом членства, если функция и преобразуется в некоторую функцию членства р.’А (х), отличающуюся от ц тем, что она всем значениям функции рА (х), которые меньше, чем а, придает значение 0. Введение порога членства выделяет среди всех значений, которые может принимать цА (а-), такие,

⁹ Строго говоря, «одно и то же» понятие оказывается в этом случае двумя различными понятиями: последние различаются несовпадающими (в общем случае) функциями |а двух разных исполнительных устройств.

Тема: «Психология поведения и общения» Вопрос1. Понятие поведения. ...

... выполняемой деятельности, быстрое принятие решения, активное реакция на фрустрацию. Произвольное поведение (волевое) - ... не формальные) -эталонные и группы членства Среди малых груп выделяют корпарацию ... развития 12. Высокий уровень кагнитивной функции 13. Широкий кругозор, прогностические способности, ... Тема: "Личность преступника" 1. Понятие и психологические особенности личности преступника ...

что иА (а;) ^а. В результате возникает другое расплывчатое множество—А„ с функцией членства и/Аа(д:).

Так, если для функции членства ц2)°(а’) (см. табл. 1, столбцы 1 и 2) ввести порог а=0,8, то расплывчатое понятие, «несколько шагов» приобретет уже отчасти иной—причем более «жесткий»— смысл: перейдет в менее расплывчатое множество Д°<о,8) с функцией членства р/2)°(о,8) (ж), задаваемой следующей таблицей (табл. 1, столбцы 1 и 3).

Введение порога есть, таким образом, прием некоторой кон-структивизации расплывчатого множества (и, значит, расплывчатого алгоритма, в котором используется такое множество).

Ясно, что для одной и той же функции ц могут вводиться различные пороги. Если стремиться к максимальной конструктивности, то можно поступить так, как предлагает Заде: выбирать в качестве порога такое максимальное из значений функции и,А(а:), при котором множество Ад не пусто. Для нашего примера это означает переход к функции \и»‘, задаваемой таблицей 1, столбцы 1 и 4.

Ясно, что такой подход равносилен введению хорошо определенного предиката: «число шагов от 5 до 7» (которому соответствует уже вполне четкое множество «пять или шесть или семь .шагов») и, соответственно, повелительного предложения «Сделать от 5 до 7 шагов!», гораздо более четкого, чем расплывчатый алгоритм (г).

Такой прием, собственно говоря, и используется обычно для конструктивизации расплывчатых понятий «.

Некоторые психолого-гносеологические аспекты

Очевидно, что использование расплывчатых множеств (расплывчатых предикатов) — типичный случай в человеческом мышлении. Большинство понятий — предикатов (множеств, свойств, отношений), с которыми мы имеем дело не только в повседневной жизни, .но и в науке (вне математики, во всяком случае) расплывчаты. Таковы, например, предикаты «добрый», «синий», «внимательный», «каменный дом», «спортивный» коллектив», и т. п. Введение функций членства, соответствующих этим предикатам, указывает принципиальный путь формализации этих предикатов (понятий).

Однако все дело в том, чтобы как-то определить (задать) требуемую функцию членства. В случае «хороших» понятий — предикатов, рассматриваемых в «обычной» логике,— функция членства в классе, являющемся объемом соответствующего предиката, принимает, как мы ужо го-

¹⁰ В данном случае эта конструктивизация, однако, в известном смысле возвращает нас к уровню недетермипистских алгоритмов; ибо предписание «Сделать от 5 до 7 шагов!» предполагает выбор (для которого не указаны соответствующие правила принятия решения).

Заметим, кстати, что для порога 0,8 аналогичная трудность конструктивизации расплывчатого предписания проявляется в том, что применение предписания (г) в поведении в этом случае требует использования также и вероятностного способа действия (чтобы различить ситуацию четырех, с одной стороны, и пяти — семи шагов, с другой).

233

ворили, только два значения,— эта функция совпадает с этим предикатом. Проблема формализации понятий тут не возникает: понятия заранее считаются «хорошими»—вполне объемно-определенными. Иное дело расплывчатые предикаты. Формализация этих понятий означает задание соответствующих функций членства. И поскольку формализация (в той или иной степени и форме) необходима для использования нечетких понятий в поведении, для объяснения деятельности, регулируемой расплывчатыми алгоритмами, следует предположить наличие у субъекта (человека как исполнительного устройства) интуитивного «чувства вероятности, правдоподобности» отнесения объекта к тому или иному расплывчатому множеству, т. е. способности к субъективной оценке частотности событий, на основе которой строится вероятностный или пороговый способы поведения (или их сочетание).

Мы указывали выше на результаты психологических и психолого-кибернетических исследований, позволивших сделать вывод, что «человек не может выполнять роль генератора случайных последовательностей выборов с заданным законом распределения» [Поспелов Д. А., Ситар П., 1969, стр. 201; разрядка наша.— Б. Б.}. Но это вовсе не означает, что субъект не может осуществлять «вероятностного поведения», т. е. поведения, естественно интерпретируемого наблюдателем как акты выбора из некоторого множества альтернатив с определенными вероятностями. С другой стороны известно, что человек способен воспринимать вероятностную структуру сообщений и использовать это восприятие для повышения-эффективности своего поведения (об этом, в частности, говорят исследования А. Н. Леонтьева и Е. П. Кринчик [1954] и Е. П. Кринчик [1968]).

В свете всего этого выглядит убедительным, что способность к оценке значений функции принадлежности к тому или иному расплывчатому множеству для различных значений ее аргумента (аргументов) следует считать психологической реальностью. Функциями вида и,Л (ж) оперирует каждый человек, устанавливая, например, градации «порядочности» в множестве своих знакомых или прибегая к понятию «сильного шахматиста».

Здесь возникают вопросы трех типов. Первый из них связан с математическим аппаратом описания процедуры принятия решения, безотносительно к специфике исполнительного устройства. «Вероятностный» и «пороговый» способы поведения могут быть специфицированы различным образом (например, вероятностный способ может быть усложнен введением моментов более высоких порядков).

Возможно, далее, привлечение идейного аппарата теории игр и статистических решений; например, один из способов поведения при выборе решения может быть основан на применении критерия Неймана — Пирсона [Д. И. Шапиро, 1975].

Второй тип вопросов намечен в статье Л. А. Заде [1966]. В ней указывается, что понятие нечеткого множества приводит к естественной формулировке проблемы абстрагирова-

234

ни я. А именно, формулировка эта состоит в следующем. Пусть для некоторого нечеткого множества Лраспл (подмножества множества X) известно некоторое конечное число значений определяющей-А расдл функции членства \иА(х), например, п пар вида:

ж,, цЛ(а:,); ж,, цА (жа) ;…;Хп, 1иА(хп), где х,е=Х(1=1, 2,…,га).

Тогда абстрагирование может быть определено как оценка (определение) функции [иА(х) (Заде использует обозначение ^д) по ее выборочным значениям. «Это, конечно, еще не есть математически строгая постановка задачи, так как здесь ничего не сказано о критериях, позволяющих судить, какая оценка функции р,л является хорошей, а какая нет. Чтобы сделать проблему абстрагирования математически содержательной, необходимо располагать какой-то априорной информацией о классе функций, к которому принадлежит р,л, и указать способ сравнения ца с ее оценкой. При этом тот факт, что человеческий мозг способен очень эффективно осуществлять абстрагирование даже тогда, когда соответствующая задача не сформулирована математически корректно, может лишь привести в замешательство исследователя. Между тем именно наше недопонимание существа процесса абстрагирования и вытекающая отсюда неспособность научить машину осуществлять такое абстрагирование лежит в основе большого числа нерешенных проблем в области эвристического программирования, классификации образов и других родственных областях» [Заде Л. А, 1966, с. 38].

Третий тип вопросов — психологический. Он связан со вторым, так как поиски в круге вопросов третьего типа весьма существенны для решения проблемы абстрагирования в приведенной выше постановке. Именно, речь идет о проблеме исследования механизма образования и оперирования человеком нечёткими понятиями и расплывчатыми предписаниями. Представляется убедительной гипотеза о том, что различия в «типах» мышления людей, случаи рассогласования их «логик мышления» и т. п. объясняются тем, что для «одних и тех же» нечетких понятий у разных людей имеются различные функции членства. Исследование этих функций — на конкретном экспериментально-психологическом материале — возможно, поможет понять явление различных стилей мышления людей, быть может даже создать своего рода типологию таких стилей. Для начала интересно было бы посмотреть, сколь родственны для разных людей те или иные функции ц, определяющие понятия вроде «несколько шагов»; сколь различны для них пороги, которые они вводят для таких понятий. Задачу испытуемым в этом случае можно было бы поставить в виде вопроса: «Вам дали указание пройти несколько шагов и остановиться. Сколько шагов Вы сделаете?» ⁴¹. На этом пути воз-

¹¹ Еще лучше в этом случае непосредственно осуществить соответствующую ситуацию. Для детей, например, нетрудно придумать игру, где эта ситуация будет для них совершенно незаметна.

235

можно экспериментально исследовать степени принадлежности

.объектов тем или иным расплывчатым классам с точки зрения разных испытуемых.

Из концепции расплывчатых алгоритмов получаются примечательные выводы для дидактики. Один из них состоит в том, что нечеткие алгоритмы являются вполне равноправной формой учебных предписаний. Они могут занять — да фактически и занимают!—естественное место в том обучении алгоритмам, которое в книге Л. Н. Ланды [1966] было названо алгоритмизацией обучения. Разработка теории нечетких алгоритмов открывает дорогу созданию методик их применения в дидактическом процессе. Становится, в частности, очевидным, что применение расплывчатых предписаний (и прежде всего обучение таким предписаниям учащихся) возможно лишь при одном условии: надо быть уверенным в том, что у данной группы обучаемых (при групповом обучении алгоритмам) в целом достаточно родственные функции |И для всех (или большинства) входящих в такой алгоритм расплывчатых условий (и эти функции в достаточной мере известны педагогу) . Это означает, что в случае обучения нечетким алгоритмам придется, по-видимому, выработать и применять определенные формы диагностики характера соответствующих нечетких понятий в данном контингенте обучаемых, что придется проводить работу по «стандартизации» этих понятий у учащихся как предварительному условию алгоритмизации обучения и применения методов дидактического программирования.

В заключение отметим, что нечеткость алгоритма может в нем совмещаться с «феноменом сводимости»: предписание может быть и алгоритмом сводимости, и нечетким алгоритмом; в этом случае естественно говорить — когда речь идет об алгоритмических процессах, выполняемых человеком,— о расплывчатых предписаниях алгоритмического типа. Кроме того, алгоритм может быть одновременно и расплывчатым, и алгоритмом со случайным выбором шагов. Это свидетельствует о том, что в реальных актах поведения алгоритмическое и неалгоритмическое тесно взаимосвязаны, переплетаются и переходят друг в друга. Алгоритмическое в мышлении и поведении неотделимо от эвристического, формальное, основанное на жестких правилах,— от процедур принятия решения, включающих неформальные моменты, и т. п. Кибернетическое моделирование интеллектуальных процессов и имеет в качестве одной из своих важнейших «составляющих» отображение этой

диалектики формального и неформального, алгоритмического и эвристического.

Литература

Бирюков Б. В., Ландо, Л. Н. Методологический анализ понятия алгоритма в психологии и педагогике в связи с задачами обучения.— В сб.: Вопросы алгоритмизации и программирования обучения, вып. 1. М., 1969.

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., 1971.

Глушков В. М. Введение в кибернетику. Киев, 1964.

Заде Л. А. Тени нечетких множеств,— «Проблемы передачи информации», т. II, вып. 1. М., 1966.

Заде Д. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня. М., 1974.

Кейслер Г. Дж., Чэн Чень-чунь. Теория непрерывных моделей, М., 1971.

Клини С, К. Введение в метаматематику. М., 1957.

Кринчик Е. П. О детерминации поведения вероятностной структурной ситуации.— «Вопросы психологии», 1968, № 3.

Ланда Л. Н. Алгоритмизация в обучении. М., 1966.

Леонтъев А. Н., Кринчик Е. П. Некоторые особенности процесса переработки

информации человеком.— В кн.: Кибернетика, мышление, жизнь. М., 1964.

Марков А. А. Теория алгорифмов.— Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. ХЫ1. М.— Л,, 1954.

Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1959.

Поспелов Д. А., Ситар П. Анализ игры человека и машины в монетку.— В сб.: Проблемы эвристики. М., 1969.

Смирнов В. А. Алгоритмы и логические схемы алгоритмов.— В сб.: Проблемы логики. М., 1963.

Успенский В. А. Как работает машина Поста.— «Математика в школе», 1967, № 1.

Успенский В. А. Прибавление единицы на машине Поста.— «Математика в школе», 1967а, № 2.

Успенский В. А. Анализ и синтез программ машины Поста.— «Математика в школе», 19676, № 3.

Успенский В. А. Возможности машины Поста.— «Математика в школе», 1967в, № 4.

Хованов Г. М. Эвристическая программа для оценки вероятности при неполной информации,— В сб.: Проблемы эвристики. М., 1969.

Шапиро Д. И. О методах принятия решений в сложных системах управления.— В сб.: Теория принятия решений. М., 1975.

К1еепе 8. С. Он по(,а1доп 1ог огаша! пишЬегз.— «.Гоша! о! БутЬоЦс Ьо§1с», 1938, уо1. 3, р. 150—155.

^Ъа^еина. ]. О 1о(псе 1г6]\уаг1о5с1о\уе].— «Висн РИогоПсгпу», г. V, N 9, Ьлтоуу, 1920.

8ап1оа Е. 8. Риггу А1§огг1пшз.— «ТШвгшаНоа апа Соп1го1», 1973, уо1. 17, N 4. 2ааеп Ь. А, Риггу 8е1в.— «.1пЮгта(Доп анй Соп(,го1», 1965, уо1. 8, N 2. 2,ааеп Ь. А. Соттшисаиоп: Риггу а120п1,Ьтз.— «1пЮгша11оп апД Соп1го1», 1968, уо1. 12, N 2.

2аае/1 Ь. А. (ЭиапЩайуе гиггу ветаписз.— <(1п1огта1юп зс1енсе8», 1971, уо1. 3,

N 2.

237